Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

16 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Bevis for punkt 1:
Vælg ε > 0. Herefter skal der konstrueres et Nε ≥ 1, s˚aledes d(xp, xq) < ε for
alle p, q ≥ Nε. Sidstnævnte svarer til at skrive følgende:
∀p ≥ Nε, ∀k ≥ 0 : d(xp+k, xp) < ε
Det skyldes, at s˚afremt q ≥ p, kan q skrives som q = p + k, og hvis q < p, kan q
opfattes som p og omvendt.
Herefter betragtes d(xp+k, xp). Ved at bruge lemma 2.8 f˚as, at følgende gælder
for alle k ≥ 1:
0 ≤ d(xp+k, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)
≤ (1 + α + . . . + α k−1 )α p d(x1, x0)
= 1 − αk
1 − α αp d(x1, x0)
= αp − α k+p
1 − α d(x1, x0)
≤ αp
1 − α d(x1, x0)
I udregning (2.13) benyttes den geometriske række
k−1
α k =
k=1
1 − αk
1 − α
(2.13)
Eftersom 0 < α < 1, gælder, at limp→∞ α p = 0. Dermed f˚as ifølge ulighed
(2.13), at
lim
p→∞ d(xp+k, xp) = 0
Dvs. at der eksisterer Nε, s˚aledes d(xp+k, xp) < ε for alle p ≥ Nε, og for
alle k ≥ 0. Dermed er {xn}n≥1 en Cauchy-følge, og eftersom (M, d) er et
fuldstændigt metrisk rum, konvergerer følgen.
Bevis for punkt 2:
Sæt limn→∞ xn = x∞. Det skal vises, at d
S(x∞), x∞ = 0, da det medfører,
at S(x∞) = x∞:
0 ≤ d
S(x∞), x∞ ≤ d S(x∞), xn+1 + d(xn+1, x∞)
= d S(x∞), S(xn) + d(xn+1, x∞) ≤ αd(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)
≤ d(x∞, xn) + d(xn+1, x∞)
Eftersom limn→∞ d(x∞, xn) = 0, og limn→∞ d(xn+1, x∞) = 0, gælder at
0 ≤ d
S(x∞), x∞ ≤ 0 ⇒ S(x∞) = x∞
Dvs. at x∞ er et fikspunkt for S.
Entydighed:
Antag, at x1, x2 er fikspunkter, dvs. S(x1) = x1, og S(x2) = x2. Eftersom S er
en kontraktion, gælder at
d(x1, x2) = d S(x1), S(x2) ≤ αd(x1, x2)