Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4.1 Linearisering 59
f2(x1, x2) omkring ligevægtspunktet opn˚as en god approksimation af f1(x1, x2)
og f2(x1, x2) nær (x1 ∗ , x2 ∗ ) jf. sætning A.8. Vi bestemmer Taylorpolynomiet 1.
orden, da vi ellers vil f˚a ikke-lineære led med. S˚aledes vil vi ikke være kommet
nærmere en løsning til den oprindelige ikke-lineære differentialligning.
f1(x1, x2) = f1(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )
+ ∂f1(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂x1
f2(x1, x2) = f2(x1 ∗ , x2 ∗ ) + ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )
+ ∂f2(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂x1
(x1 − x1 ∗ )
(x1 − x1 ∗ )
(4.7)
For at vurdere hvorvidt det er en god approksimation, er det nødvendigt at se
p˚a restleddet:
R f1,x∗
2 (x) = 1
2! D(2) f(c, x − x ∗ )
R f2,x∗
2 (x) = 1
2! D(2) g(c, x − x ∗ )
Eftersom vi krævede, at f er C 2 , kan vi tillade os at vurdere p˚a restleddet.
Punktet (x1, x2) ligger tæt p˚a ligevægtspunktet, derfor vil (x1 − x1 ∗ ) 2 være
endnu mindre, n˚ar x1 − x1 ∗ < 1. Da punktet c er valgt mellem x og x ∗ , vil de
forskellige partielle afledede af 2. orden i c ogs˚a blive meget sm˚a. Dermed bliver
restleddet meget lille.
Eftersom (x1 ∗ , x2 ∗ ) er ligevægtspunktet, giver leddene f(x1 ∗ , x2 ∗ ) og g(x1 ∗ , x2 ∗ )
i ligningerne (4.7) begge nul.
Vi opn˚ar s˚aledes følgende approksimation af f(x1, x2) og g(x1, x2):
f(x1, x2) = ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
g(x1, x2) = ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
Dette kan ogs˚a skrives som
⎡
x ′ ⎢
= ⎣
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
(x1 − x1 ∗ ) + ∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
(x1 − x1 ∗ ) + ∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
(x2 − x2
∂x2
∗ )
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
⎤
⎥
⎦ (x − x ∗ )
Da x ∗ er en konstant vektor, er det muligt at erstatte x ′ med [x − x ∗ ] ′ .
Ved at sætte y = x − x ∗ opn˚as følgende linearisering af systemet x ′ = f(x):
⎡
y ′ ⎢
= ⎣
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂g(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x1
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
∂f(x1 ∗ , x2 ∗ )
∂x2
⎤
⎥
⎦ y