Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

54 T 2 =4D KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Figur 3.8: Spor-determinantplanen, hvor T=trA og D=det(A) 3.4 Opsummering Vi har i dette kapitel bearbejdet plane, lineære systemer af 1.ordens autonome differentialligninger. Vi har beskæftiget os med, hvorledes et s˚adant system kan repræsenteres ved hjælp af en (2 × 2)-matrix. Dernæst har vi behandlet ligevægtspunkter og -løsninger. I afsnit 3.2 er de tre tilfælde, hvor egenværdierne kan falde ind under, blevet gennemg˚aet. Ud fra dette er der blevet opstillet en spor-determinantplan, som viser, hvordan determinanten og sporet afgører faseportrættets udseende. Teorien gennemg˚aet i dette kapitel skal benyttes i kapitel 4. I dette kapitel vil vi ved hjælp af linearisering behandle <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>s opførsel omkring dets ligevægtspunkter. det tr
Kapitel 4 Linearisering Vi vil i dette kapitel redegøre for, hvorledes det er muligt at anvende linearisering til at udtale sig om, hvordan flowet for et ikke-lineært differentialligningssystem ser ud. Før vi bliver i stand til dette, er vi nødt til at introducere partielle afledede og medtage en sætning om deres eksistens. Definition 4.1 Partielle afledede Lad U være en ˚aben delmængde af R 2 og f : U → R være en funktion. Den 1. ordens partielle afledte af f i punktet a ∈ U med hensyn til den j’te variabel xj er givet ved: ∂f ∂xj f(a + hej) − f(a) (a) = lim h→0 h (4.1) Vi vil nu definere, hvad det vil sige, at en vektorfunktion er differentiabel: Definition 4.2 Differentiabilitet af vektorfunktioner Lad f : R 2 → R 2 . • Vektorfunktionen f er differentiabel i et punkt a ∈ R 2 , hvis og kun hvis der findes en ˚aben delmængde V ⊂ R 2 , der indeholder a, s˚aledes f : V → R2 , og der findes en lineær transformation → 0, n˚ar h → 0, er opfyldt for funktionen T : R 2 → R 2 , s˚a ε(h) ||h|| ε(h) = f(a + h) − f(a) − T (h) • Vektorfunktionen f er differentiabel p˚a en mængde E, hvis og kun hvis E = ∅, og f er differentiabel i ethvert punkt i E. Ifølge sætning 8.15 i [Wad04] kan T ∈ L(R 2 , R 2 ) altid repræsenteres ved hjælp af en (2 × 2)-matrix. Dermed er vektorfunktionen f differentiabel i et punkt a,
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?