Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.2 Systemer med kanoniske matricer 47
Dette udtryk differentieres:
x ′ 1(t) = k3λe λt λt λt
+ k4 e + λte
Det differentierede udtryk og gættet indsættes i differentialligning (3.19):
k3λe λt + k4
e λt + λte λt = λ k3e λt + k4te λt + k2e λt ⇔
x2
k4e λt = k2e λt
Heraf ses, at k2 = k4, og at k3 er arbitrær.
Dermed bliver en løsning til x ′ = Ax:
x1
x = = k3e λt
1
+ k2e
0
λt
t
1
(3.20)
Dette er den generelle løsning, hvilket følger af eksistens- og entydighedssætning
2.14.
Herefter undersøger vi, hvorledes faseportrættet kommer til at se ud. Hvis λ < 0
gælder, at
lim
t→∞ k3e λt = 0
lim
t→∞ k2e λt = 0
For at finde grænseværdien for k2te λt , n˚ar t → ∞, omskrives udtrykket:
k2te λt = t
1
k2e λt
(3.21)
Ved at opfatte udtrykket p˚a højresiden af ligning (3.21) som en kvotient mellem
to funktioner, kan l’Hôpital’s regel bruges [Wad04]. Sæt derfor
Heraf fremg˚ar det, at
f(x) = t og g(x) = 1
k2e λt
lim f(x) = ∞
t→∞
lim g(x) = ∞
t→∞
Dermed kan l’Hôpital’s regel bruges, hvilket gør det muligt at tage grænseværdien
af kvotienten mellem f ′ (x) og g ′ (x) i stedet for grænseværdien af kvotienten
mellem f(x) og g(x). Inden reglen anvendes, differentieres f(x) og g(x):
S˚aledes f˚as, at
f ′ (x) = 1
g ′
1
(x) =
e
k2
−λt
′
= 1
(−λ)e
k2
−λt = −λ
k2eλt lim
t→∞ k2te λt f(x) f
= lim = lim
t→∞ g(x) t→∞
′ (x)
g ′ = lim
(x) t→∞
− 1
λt
k2e = 0
λ