Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

5.1 Stabilitetsundersøgelse 73
Som eksempel kan tages et sadelpunkt. Det er et α-grænsepunkt for den ustabile
akse og et ω-grænsepunkt for den stabile akse.
Den følgende definition omhandler, hvad det betyder, hvis en funktion er definit
eller semidefinit:
Definition 5.4 Definit og semidefinit
Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben,
og x ∗ ∈ O er et ligevægtspunkt.
• Funktionen L er positiv definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) > 0
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er negativ definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) < 0
for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er positiv semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og
L(x) ≥ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
• Funktionen L er negativ semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og
L(x) ≤ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }.
Den næste definition behandler urbillede [Coh03]:
Definition 5.5 Urbillede
Lad U, V, W være mængder, og lad f : V → W være en funktion. Hvis
U ⊆ W , kaldes følgende for urbilledet af U:
f −1 (U) = v ∈ V f(v) ∈ U
Ud fra definition 5.4 kan en Lyapunov-funktion defineres:
Definition 5.6 Lyapunov-funktioner
Lad L : O → R være en funktion, hvor O ⊆ R 2 . Betragt differentialligningssystemet
x ′ = f(x) med ligevægtspunktet x ∗ ∈ O. Lad ˙ L : O → R
være en funktion givet ved
˙L(x) = DL(x) f(x)
Funktionen L kaldes en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , hvis L er positiv
definit, og ˙ L er negativ semidefinit.
Funktionen L kaldes en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚afremt L
er positiv definit og ˙ L er negativ definit.
Før gennemgangen af Lyapunovs sætning gives en begrundelse for definitionen
af ˙ L. Det gøres ved at betragte systemet x ′ = f(x) med ligevægtspunkt x ∗ . Lad
L : O → R være en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , og lad x(t) angive en løsning,