Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

60 KAPITEL 4. LINEARISERING Matricen i ovenst˚aende ligning er identisk med Jacobimatricen for f i punktet x ∗ . Derfor kan lineariseringen skrives som y ′ = Df(x ∗ )y Det er imidlertid ikke altid muligt at linearisere et ikke-lineært differentialligningssystem. For at være i stand til at udtale sig om, hvorn˚ar det er muligt, er følgende definition nødvendig: Definition 4.6 Hyperbolsk ligevægtspunkt Et ligevægtspunkt x ∗ til et ikke-lineært system kaldes hyperbolsk, hvis begge egenværdier til Jacobimatricen Df(x ∗ ) ikke har 0 som realdel Den næste sætning udtaler sig om, under hvilke betingelser linearisering er berettiget. Sætning 4.7 Lineariseringssætningen Antag, at det 2-dimensionelle system x ′ = f(x) har et hyperbolsk ligevægtspunkt i x ∗ . Det ikke-lineære flow er da konjugeret til flowet for det lineariserede system i nærheden af x ∗ . Vi vil ikke bevise denne sætning. Vi vil i stedet koncentrere os om tilfældet, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel. Dette har vi valgt, eftersom sadeltilfældet er det eneste tilfælde, vi f˚ar brug for i forbindelse med <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. 4.1.1 Sadler er sadler Dette afsnit er baseret p˚a [HSD04]. For at vide noget om eksistensen og entydigheden af en løsning er vi først og fremmest nødt til at kræve, at den vektorfunktion f, vi betragter, er C 1 . Vi antager, at Df(x ∗ ) har λ og −µ som egenværdier. Ved at diagonalisere systemet opn˚ar vi, følgende Taylorapproksimation af systemet: x ′ = λx + g1(x, y) y ′ = −µy + g2(x, y) Her er −µ < 0 < λ og gi(x, y) betegner fejlen. Om systemet skal der gælde at gj(x, y) lim = 0 r→0 r Her betegner r afstanden fra origo til et punkt (x, y). Denne afstand er givet ved r = x 2 + y 2 . Det lineariserede system fremkommer ved at udelade de højere ordens led. Derfor bliver systemet s˚aledes: ′ x y ′ = λ 0 x 0 −µ y
4.1 Linearisering 61 I dette system har begge egenværdier en realdel, som er forskellig fra 0. Dermed har vi et hyperbolsk ligevægtspunkt. For det lineariserede system er origo ligevægtspunkt. Eftersom λ er positiv, er x-aksen den ustabile akse, og y-aksen er den stabile akse, da −µ er negativ. Det er ikke sikkert, at y- og x-aksen tjener som henholdsvis stabil og ustabil akse i det ikke-lineære tilfælde. Men i henhold til lineariseringssætning 4.7, som gælder, da vi har et hyperbolsk ligevægtspunkt, eksisterer der nogle kurver med lignende egenskaber. Vi lader W s (0) betegne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar mod origo, n˚ar t → ∞. Dermed er W s (0) den stabile kurve. P˚a samme m˚ade lader vi W u (0) benævne mængden af begyndelsesbetingelser, hvis løsninger g˚ar mod origo for t → −∞. Hermed er W u (0) den ustabile kurve. Vi ønsker at bevise, at løsninger i nærheden af en ikke-lineær sadel i høj grad opfører sig som i det lineære tilfælde. Den følgende sætning udtaler sig om den stabile kurve. P˚a samme m˚ade er det muligt at opstille en sætning for den ustabile kurve [HSD04]. Det har vi imidlertid fravalgt at gøre her. Sætning 4.8 Den stabile kurvesætning Givet systemet Antag, at −µ < 0 < λ og gj(x,y) x ′ = λx + g1(x, y) y ′ = −µy + g2(x, y) r → 0 for r → 0. I s˚a fald gælder, at der eksisterer ε > 0 og en kurve x = h s (y), som er defineret for |y| < ε og opfylder, at h s (0) = 0. Desuden gælder følgende tre ting: 1. Samtlige løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a denne kurve, vil blive p˚a denne kurve for alle t ≥ 0, og de vil nærme sig origo, n˚ar t → ∞. 2. I origo er y-aksen tangent til kurven h s (y). 3. Alle andre løsninger, hvis begyndelsesbetingelser ligger p˚a en cirkelskive, der har origo som centrum og en radius ε, vil forlade denne cirkelskive, n˚ar t vokser. Kurven x = h s (y) kaldes den lokale stabile kurve i 0. Ved at følge løsninger p˚a den lokale stabile kurve tilbage i tiden er det muligt at bestemme hele den stabile kurve W s (0). Grunden til at den lokale stabile kurve udtrykkes som en funktion af y, er, at vi i et lineært tilfælde ikke vil kunne skrive den som en funktion af x. Bevis. Lad Bε betegne kvadratet, der er begrænset af x = ±ε og y = ±ε: Bε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, −ε ≤ y ≤ ε} Lad S ± ε betegne øvre og nedre grænse af Bε: S ± ε = {(x, y) ∈ R 2 | − ε ≤ x ≤ ε, |y| = ε}
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?