Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

5.2 Lotka-Volterra 79
M b
n
()
g(b)
b1Db2 C
Figur 5.6: Funktionen g(b) = bD
e Cb
Herefter bestemmes, hvorn˚ar g ′ (b) = 0:
b
g ′ (b) = 0 ⇒ b = D
C
M r
o
()
h(r)
r1Ar2 B
Figur 5.7: Funktionen h(r) = rA
e Br
∨ b = 0
Til sidst undersøges g ′′ i de to punkter:
g ′′
D
< 0
C
og g ′′ (0) = 0
Heraf fremg˚ar det, at g ′′ har maksimum i b = D
C
har maksimum i A
B
. P˚a samme m˚ade findes, at h
. Figur 5.6 og 5.7 viser afbildninger af begge funktioner samt
deres maksima i ( D
C , Mb) og ( A
B , Mr). Hvis k > MbMr, har ligning (5.13) ingen
løsning. Hvis k = MbMr, s˚a har ligning (5.13) præcis én løsning, hvor b = D
C og
r = A
B . Det eneste tilfælde, der mangler, er det tilfælde, hvor k < MbMr. Lad
k = nMr for n < Mb. S˚a har n = g(b) = bD
e Cb to løsninger b1, b2, hvorom der
gælder, at b1 < D
eller b > b2, s˚a der gælder, at
Det giver, at
C , og b2 > D
C
, som vist i figur 5.6. I de tilfælde, hvor b < b1
bD eCb
< n ⇔ 1 < n
eCb bD h(r) = rA
Cb e
= k
eBr bD
= Mr
eCb n > Mr
bD Dette er ikke en løsning. Er b = b1, eller b = b2, har ligning (5.13) en løsning,
hvilken er r = A
B . I det sidste tilfælde, hvor b1 < b < b2 har ligningen (5.13)
to løsninger. Begge løsninger er vist som r1 og r2 i figur 5.7. Dette indikerer,
at ligning (5.13) beskriver en lukket kurve, da funktionerne g(b) og h(r) kan
betragtes, som profilen eller et tværsnit af grafen for funktionen g(b)h(r), hvis
niveaukurver er løsninger i differentialligningssystem (4.8), jf. figur 5.8.
Endvidere kan ligning (5.12) betragtes som en funktion:
L(b, r) = rAbD = k (5.14)
eBr+Cb r