Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

5.2 Lotka-Volterra 77
Derfor kan delfølgen ikke konvergere mod x ∗ . Idet ωf = {x ∗ }, kan delfølgen ikke
konvergere mod andre punkter. S˚a det er en modstrid, hvormed er ligning (5.11)
sand. Derfor er x ∗ et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt.
Vi har i dette kapitel beskrevet forskellige metoder til stabilitetsundersøgelse
af ligevægtspunkter for ikke-lineære systemer. Herunder har vi ogs˚a behandlet,
hvorledes det er muligt at vurdere et systems opførsel omkring dets ligevægtspunkter.
Dette skal benyttes til en stabilitetsundersøgelse af Lotka-Volterra
modellen.
5.2 Lotka-Volterra
Vi vil i dette afsnit anvende de metoder, vi i dette kapitel har gennemg˚aet i
forbindelse med stabilitetsundersøgelse p˚a Lotka-Volterramodellen.
5.2.1 Nulkliner
Størrelserne db dr
dt og dt angiver, som nævnt i afsnit 4.2, væksten for byttedyrenes
og rovdyrenes population. Hvis der er positiv vækst, vil værdierne være positive,
mens de vil være negative, hvis væksten er negativ. Endvidere er værdierne
0, hvis der ingen ændringer er i populationerne. For at kunne sige mere om
løsningerne til systemet, findes dets nulkliner:
Først angives b-nulklinerne:
db
dt
Dernæst opskrives r-nulklinerne:
r
(0, 0)
dr
dt
A
= 0 ⇔ r = , b = 0
B
D
= 0 ⇔ b = , r = 0
C
b = D
C
D
C
A
, B
r = A
B
Figur 5.5: Lotka-Volterramodellens nulkliner, retningsfelt og ligevægtspunkter
b