Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

90 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION Kuttametoderne er mere præcise end Eulers metode, hvilket fremg˚ar af en sammenligning af størrelsesordenen af den globale fejl for hver af metoderne.
Kapitel 7 Afrunding Vi har i denne rapport arbejdet med dynamiske systemer. Vi valgte at beskæftige os med det dynamiske system, som beskriver samspillet mellem rovdyr og byttedyr. Først lagde vi ud med en række grundlæggende begreber i forhold til 1. ordens differentialligninger. Ud fra den gennemg˚aede teori om differentialligninger opstillede vi to differentialligninger. Én for væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de lever isolerede, og én for byttedyrene, n˚ar de lever isolerede. For at være i stand til at tale om entydige løsninger til differentialligninger var det nødvendigt at bevise eksistens- og entydighedssætningen. Det er ogs˚a herp˚a, fokus i rapporten har ligget. For at kunne bevise den sætning m˚atte vi gennemg˚a teori vedrørende metriske rum samt bevise Banachs fikspunktssætning. Herefter beviste vi eksistens- og entydighedssætningen. For at kunne benytte sætningen skal en række betingelser for differentialligningssystemet være opfyldt. Det skal være kontinuert og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse. Efterfølgende beskæftigede vi os med et par eksempler. Det første eksempel illustrerede, at der kun med sikkerhed er en lokal løsning, n˚ar sætningen gælder. Det andet eksempel illustrerede et tilfælde, hvor en differentialligning ikke opfylder en lokal Lipschitz-betingelse. I dette eksempel var der uendelig mange forskellige løsninger. Vi behandlede dernæst plane, lineære systemer af 1. ordens autonome differentialligninger. Vi definerede ligevægtspunkter samt løsninger til et s˚adant system. Til slut i kapitlet opstillede vi en spor-determinantplan, ud fra hvilken det er muligt at udtale sig om løsningernes opførsel ved kendskab til systemets egenværdier. Teorien om plane, lineære systemer blev dernæst brugt i forbindelse med linearisering. Før vi kunne g˚a i gang med linearisering, m˚atte vi definere differentiabilitet for en vektorfunktion. Dette gjorde os i stand til at udtale os om, hvorn˚ar de partielle afledede eksisterer, og taget i et bestemt punkt udgør de Jacobimatricen. Vi valgte at gennemg˚a det tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel, eftersom dette havde mest relevans i forhold til <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>. I forbindelse med denne udledte vi ved hjælp af væksthastigheden for henholdsvis rovdyrene og byttedyrene en model, hvor rovdyrene og byttedyrene p˚avirker hinandens eksistens. Modellens to ligevægtspunkter blev beregnet. I det ene kunne systemet lineariseres. Men ud fra Jacobimatricen blev det klart, at det andet ligevægtspunkt ikke var hyperbolsk, s˚a
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40:
Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?