Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

40 KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Tilfælde 2 Vi betragter nu tilfældet, hvor λ1 < λ2 < 0. Hvis k2 = 0 i ligning (3.12), kommer løsningerne til at være p˚a samme form som i det første tilfælde. Dvs. at de ligger p˚a x-aksen, og at de nærmer sig origo, n˚ar t → ∞. S˚afremt k1 = 0, vil løsningerne p˚a samme m˚ade som i tilfælde 1 ligge p˚a y-aksen. De vil imidlertid nærme sig origo, n˚ar t → ∞, da λ2 er negativ. Det følger heraf, at samtlige løsninger vil nærme sig origo, n˚ar t → ∞. For at bestemme hvorledes de nærmer sig origo, beregnes hældningen dy dx af en løsning. En forudsætning herfor er imidlertid, at k2 = 0. dy dy/dt = dx dx/dt = λ2k2e λ2t λ1k1e λ2k2 = λ1t λ1k1 e λ2−λ1t I starten blev det antaget, at λ1 < λ2 < 0. Derfor er λ2 − λ1 > 0. Det følger heraf, at dy dx → ±∞, n˚ar t → ∞. Dette betyder, at løsningerne nærmer sig origo med y-aksen som tangent. Dette er skildret i figur 3.2. Ligevægtspunktet kaldes her et dræn. Figur 3.2: Faseportræt af et dræn Tilfælde 3 Til slut ser vi p˚a det tilfælde, hvor 0 < λ1 < λ2. Hvis k2 = 0 i (3.12), vil løsningerne ligge p˚a x-aksen. Eftersom λ1 er positiv, vil løsningerne fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. P˚a samme m˚ade vil løsningerne ligge p˚a y-aksen og fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞, hvis k1 = 0, da λ2 > 0. Samtlige løsninger vil derfor fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Eftersom der ogs˚a i dette tilfælde gælder, at λ2 − λ1 > 0, vil hældningen for disse løsninger ogs˚a g˚a mod ±∞, n˚ar t → ∞. Løsningerne fjerner sig dermed fra origo med y-aksen som tangent. P˚a figur 3.3 er faseportrættet for dette system vist. Ligevægtspunktet kaldes i dette tilfælde en kilde.
3.2 Systemer med kanoniske matricer 41 Figur 3.3: Faseportræt af en kilde Nul som egenværdi I begyndelsen af afsnittet forudsatte vi, at λi = 0 for i = 1, 2, fordi det medfører, at origo er det eneste ligevægtspunkt, jf. sætning 3.4. Ud fra sætningen f˚as ogs˚a, at hvis én af egenværdierne er 0, f˚as en ret linie gennem origo best˚aende af ligevægtspunkter. Hvis λ1 = 0, bliver den rette linie af ligevægtspunkter i faseportrættet x-aksen, eftersom vektorerne, der ligger p˚a denne akse, ved indsættelse i x ′ = Ax giver x ′ = 0. De andre løsninger vil nærme sig denne akse, hvis λ2 < 0, eller fjerne sig, hvis λ2 > 0. Disse løsninger vil altid bevæge sig lodret, eftersom x ′ (t) = 0 for alle t ∈ R. S˚afremt λ1, λ2 = 0, er samtlige vektorer i R 2 ligevægtspunkter, jf. sætning 3.4. 3.2.2 Komplekse egenværdier Vi vil i dette afsnit udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor α β A = −β α Her er α ∈ C og β ∈ C \ {0}. For at udlede den generelle løsning til x ′ = Ax bestemmes først den karakteristiske ligning: det(A − λI) = 0 ⇒ α − λ β det = 0 ⇒ −β α − λ (α − λ)(α − λ) − β(−β) = 0 ⇒ λ 2 − 2αλ + α 2 + β 2 = 0 (3.13) For at finde egenværdierne hørende til matricen A bestemmes rødderne i ligning
Page 1: Plane Differentialligningssystemer
Page 5: Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9: viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 51 and 52: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 98 and 99:
90 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101:
92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103:
[Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105:
Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107:
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?