Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.1 Plane systemer af differentialligninger 33
Her er k ∈ Z, og a, b ∈ R, hvorom der gælder, at a = 0 ∨ b = 0, idet A = [ 0 0
0 0 ].
I det følgende antages, at a = 0. Argumentet følger analogt, hvis b = 0.
Lad x∗ ∗
x
= . Dermed f˚as, at
1
x ∗
2
Eftersom a = 0, f˚as at
Ax ∗ = 0 ⇔ ax ∗ 1 + bx ∗ 2 = 0
x ∗ 1 = − b
a x∗ 2
Dette er en ret linie igennem origo.
Hermed er sætningen bevist.
Vi vil herefter behandle, hvorledes det er muligt at finde løsninger til et system
x ′ = Ax, hvor matricen A opfylder visse betingelser. I forbindelse hermed er det
nødvendigt med nogle sætninger.
Den følgende sætning omhandler en bestemt løsning til x ′ = Ax:
Sætning 3.5 En løsning til x ′ = Ax
Lad A være en matrix, som har en egenværdi λ ∈ R med tilhørende
egenvektor v ∈ R 2 . S˚a har systemet x ′ = Ax løsningen x(t) = ve λt .
Bevis. Det bevises ved indsættelse, at x(t) = ve λt er en løsning til
Funktionen x(t) differentieres:
x ′ = Ax
dx
dt = λveλt = Ave λt = Ax(t)
Dermed er sætningen bevist.
Den følgende sætning viser, at linearkombinationen af to løsninger til x ′ = Ax
ogs˚a er en løsning:
Sætning 3.6 Sammensætning af løsninger
Lad x1, x2 ∈ R n være løsninger til x ′ = Ax, s˚a er følgende ogs˚a en
løsning:
x(t) = k1x1(t) + k2x2(t), k1, k2 ∈ R
Bevis. Antag, at x1 og x2 er løsninger til x ′ = Ax. Dermed gælder, at
x ′ 1(t) = Ax1(t)
x ′ 2(t) = Ax2(t)
(3.2)