Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Kapitel 6
Numerisk approksimation
Det er ofte ikke muligt at bestemme eksakte løsninger til differentialligninger. I
s˚a fald kan det forsøges at approksimere en løsning. Vi vil i de følgende afsnit
gennemg˚a forskellige metoder til approksimation af differentialligninger. Først
introduceres Eulers metode efterfulgt af Runge-Kuttametoderne. Approksimationsmetoderne
anvender Taylors formel, som forefindes i appendiks A.4.
6.1 Eulers metode
Dette afsnit er baseret p˚a [Tur00] og [EP01]. Taylorapproksimation anvendes til
Eulers metode. Som udgangspunkt betragtes et 1. ordens begyndelsesværdiproblem,
der er p˚a følgende form:
dx
dt = f(t, x), hvor x(t0) = x0, f er C 1
Ideen er, at der til udvalgte punkter t1, t2, . . . , tn, bestemmes en række værdier
x1, x2, . . . , xn, som approksimerer de eksakte værdier x(t1), x(t2), . . . , x(tn) af
løsningen x(t). Punkterne t1, t2, . . . , tn bestemmes udfra en valgt skridtlængde
h > 0, s˚aledes at ti+1 = ti + h for i = 1, 2, . . . , n − 1.
Ud fra begyndelsesbetingelsen er t0 og x0 kendte. For at bestemme x1 anvendes
en 1. ordens Taylorapproksimation af x(t1):
x(t1) = x(t0 + h) ≈ x0 + h dx
= x0 + hf(t0, x0)
dt0
Denne approksimation betegnes x1:
x1 = x0 + hf(t0, x0)
Ud fra x1 er det muligt at bestemme x2:
x2 = x1 + hf(t1, x1)
Der fortsættes p˚a samme m˚ade, og den generelle formel for at finde approksimationen
xk+1 bliver s˚aledes:
xk+1 = xk + hf(tk, xk) (6.1)