Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

56 KAPITEL 4. LINEARISERING
hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B s˚aledes
f(a + h) − f(a) − Bh
lim
= 0 (4.2)
h→0 ||h||
Før vi er i stand til at bevise en sætning vedrørende eksistensen af de partielle
afledede, er vi nødt til at introducere følgende lemma:
Lemma 4.3 Kontinuitet af vektorfunktion
Lad vektorfunktionen f : R 2 → R 2 være givet ved f(x) =
hvor fi : R 2 → R og lad vektoren a best˚a af komponenterne [ a1
a2
gælder, at
lim f(x) = a ⇔ lim fi(x) = ai for i = 1, 2
x→x0
x→x0
f1(x)
f2(x)
]. Der
Bevis.
” ⇒ ”: Antag, at limx→x0 f(x) = a. Af definition 3.1 i [Wad04] gælder, at
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ||x − x0|| < δ ⇒ ||f(x) − a|| < ε
Da ||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 f˚as:
Heraf følger det, at
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 < ε
|f1(x) − a1| = (f1(x) − a1) 2 (4.3)
≤ (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2 (4.4)
= ||f(x) − a||
< ε,
Uligheden mellem udtryk (4.3) og udtryk (4.4) følger af, at der lægges noget
positivt til. Tilsvarende argument benyttes for |f2(x) − a2| < ε. Dermed er
limx→x0 fi(x) = ai.
” ⇐ ”: Antag, at limx→x0 fi(x) = ai. Af definition 3.1 i [Wad04] følger, at
∀ε > 0, ∃δi > 0 : ||x − x0|| < δi ⇒ |fi(x) − ai| < ε
, for i = {1, 2}
2
Vælges δ = max{δ1, δ2} f˚as:
||f(x) − a|| = (f1(x) − a1) 2 + (f2(x) − a2) 2
≤ |f1(x) − a1| + |f2(x) − a2|
< ε ε
+ = ε
2 2
For at komme fra den første linie i udregningen til den anden, anvendes lemma
2.11. Hermed er limx→x0 f(x) = a