Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

5.1 Stabilitetsundersøgelse 75
Idet L er positiv definit, er α > 0. Lad herefter L være restringeret til B◦ δ , dvs.
L : B◦ δ (x∗ ) → R+ ∪ {0}. Definer mængden
O1 = x ∈ Bδ(x ∗ )
L(x) < α (5.5)
= x ∈ B ◦ δ (x ∗ )
L(x) < α (5.6)
= L −1 [0, α[
(5.7)
Fra udtryk (5.5) til udtryk (5.6) bruges udtryk (5.4). For at komme fra udtryk
(5.6) til udtryk (5.7) benyttes definition 5.5 af et urbillede.
Funktionen L er differentiabel p˚a O, s˚a den er kontinuert p˚a O. Derudover er
[0, α[ en ˚aben mængde i R+ ∪ {0}. For at bevise det er det nok at vise, at 0
ligger i det indre af R+ ∪ {0}. Hertil benyttes metrikken dE:
∃r > 0 : Br(0) = x ∈ R+ ∪ {0} dE(x, 0) = x < r = [0, r[⊂ R+ ∪ {0}
Af sætning 5.4.4 i [Coh03] følger dermed, at O1 = L −1 [0, α[ er en˚aben mængde
i B ◦ δ (x∗ ). Eftersom L(x ∗ ) = 0, og α > 0, er x ∗ ∈ O1. Det betyder, at O1 er en
omegn om x ∗ .
En løsning x(t), for hvilken x(0) = x0 ∈ O1, opfylder, at L(x0) < α. Da ˙ L er
negativ semidefinit, vokser L ikke langs løsningskurver i O. Dermed f˚as, at
∀t ≥ 0, L x(t) ≤ L(x0) < α
Heraf fremg˚ar det, at x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0. Det sidste, der skal bruges,
er et argument for, at alle løsningskurver, som har en begyndelsesbetingelse,
der ligger i O1, er defineret i O for alle t > 0. For dette argument henvises til
korollar p˚a side 397 i [HSD04]. Dermed følger af definition 5.1, at x ∗ er et stabilt
ligevægtspunkt.
Herefter skal vises, at hvis L er en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚a er x ∗
et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. Det betyder, at L er positiv definit, og
˙L er negativ definit. Dermed er L aftagende langs løsningskurver i O.
Først bevises, at ωf = Ø. Lad x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0 være en løsning. Eftersom
Bδ(x ∗ ) er kompakt, følger det af sætning 5.3.4 i [Coh03], at Bδ(x ∗ ) er føl-
gekompakt. Det betyder, at enhver følge x(tn)
x(tnk ) , hvorom det gælder, at
k≥0
n→∞ i Bδ(x ∗ ) har en delfølge
lim
k→∞ x(tnk ) = z0 ∈ Bδ(x ∗ ) ⇔ (5.8)
∀ε > 0, ∃K > 0, ∀k > K : x(tnk ) ∈ Bε(z0) (5.9)
Det betyder i henhold til definition 5.3, at z0 ∈ ωf .
Herefter vises, at z0 = x ∗ . Det gøres ved et indirekte bevis. Antag, at z0 = x ∗ .
Lad z(t) være en løsning med z(0) = z0. Hold s > 0 fast.
Flowet ϕ til systemet x ′ = f(x) er ifølge korollar p˚a s. 147 i [HSD04] en kontinuert
funktion af x. Da L ogs˚a er kontinuert, er afbildningen
x0 ↦→ L ϕ(x0, s) = L x(s) kontinuert p˚a O i henhold til sætning 3.24(ii) i
[Wad04]. Dermed gælder, at
∀ε > 0, ∃δs > 0 :
L y(s) − L z(s) < ε, n˚ar ||y0 − z0|| < δs og y0 ∈ O