Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

50 KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Systemet x ′ = T −1 AT x kan anskues, som et system af to ikke-koblede, lineære differentialligninger. Den generelle løsning til dette system blev udledt i afsnit 3.2.1. N˚ar den generelle løsning x(t) til systemet er fundet, vil T x(t) være den generelle løsning til y ′ = Ay, jf. sætning (3.11). Komplekse egenværdier Lad A være en matrix med den komplekse egenværdi α + iβ, hvor β = 0. Lad v1 + iv2 være den tilhørende egenvektor, hvor v1, v2 ∈ R 2 . Ligesom i tilfældet med de reelle egenværdier betegner T den matrix, som har søjlerne v1 og v2. For at T har en invers matrix, skal v1 og v2 være lineært uafhængige, jf. sætning 8 i afsnit 2.3 i [Lay03]. Det vises herunder, at hvis v1 og v2 er lineært afhængige fører det til en modstrid: Lad v1 og v2 være lineært afhængige, og lad v2 = 0. Det sidste er muligt at antage, eftersom v1 = 0 = v2 ikke er muligt, idet v1 + iv2 er en egenvektor, og en egenvektor skal være forskellig fra nulvektoren. Dermed eksisterer k ∈ R, s˚a v1 = kv2. Idet v1 + iv2 er en egenvektor og α + iβ en egenværdi, gælder at A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = (α + iβ)(kv2 + iv2) = (α + iβ)(k + i)v2 P˚a den anden side gælder det ogs˚a, at Derfor m˚a A(v1 + iv2) = Av1 + iAv2 = (k + i)Av2 (α + iβ)v2 = Av2 (3.22) Men dette er en modstrid, eftersom venstresiden i ligning (3.22) er en kompleks vektor, idet β = 0, mens højresiden er en reel vektor. Dermed er det vist, at T er invertibel. Herunder vil vi finde elementerne i matricen T −1 AT . Idet v1 + iv2 er en egenvektor med egenværdien α + iβ, s˚a gælder, at A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = αv1 − βv2 + i(βv1 + αv2) (3.23) Eftersom to komplekse tal er lig med hinanden, hvis og kun hvis deres realdel og imaginære del er ens, kan ligning (3.23) deles op i to: Av1 = αv1 − βv2 Av2 = βv1 + αv2 Da T har v1 og v2 som søjler, gælder at T e1 = v1 og T e2 = v2 Nu kan elementerne i T −1 AT beregnes. Første søjle giver (T −1 AT )e1 = T −1 Av1 = T −1 (αv1 − βv2) = αT −1 v1 − βT −1 v2 = αe1 − βe2 Anden søjle i T −1 AT beregnes p˚a tilsvarende m˚ade: (T −1 AT )e2 = T −1 Av2 = T −1 (βv1 + αv2) = βT −1 v1 + αT −1 v2 = βe1 + αe2
3.2 Systemer med kanoniske matricer 51 Dermed f˚as, at T −1 AT = α β . −β α Den generelle løsning til systemet x ′ = T −1 AT x blev udledt i afsnit 3.2.2. Hvis x(t) er den generelle løsning til systemet, s˚a er T x(t) den generelle løsning til y ′ = Ay. Én egenværdi med algebraisk multiplicitet 2 Lad A være en matrix med én reel egenværdi λ. Hvis A har to lineært uafhængige egenvektorer v1, v2, er A p˚a formen λ 0 A = (3.24) 0 λ Det skyldes, at Dermed gælder følgende: Av1 = λv1 Av2 = λv2 ∀v ∈ R 2 : v = av1 + bv2, a, b ∈ R ⇒ Av = aλv1 + bλv2 = λ(av1 + bv2) = λv Heraf fremg˚ar, at alle vektorer p˚a nær nulvektoren er egenvektorer tilhørende egenværdien λ. Dermed gælder det ogs˚a for e1 og e2, dvs.: Det betyder, at Ae1 = λe1 Ae2 = λe2 A = λ 0 0 λ Systemet x ′ = Ax er et system af to ikke-koblede, lineære differentialligninger. Lad x(t) = , da gælder, at x ′ (t) y ′ (t) x ′ (t) = A x(t) = y(t) λx(t) λy(t) Ifølge sætning 1.4 er den generelle løsning til x ′ = Ax givet ved: k1e x(t) = λt k2eλt , k1, k2 ∈ R Antag i stedet, at A har v som egenvektor, og at alle andre egenvektorer er i span{v}. Lad w være en vilk˚arlig vektor, der er lineært uafhængig af v. Eksistensen af w følger af, at span{v} = R 2 , eftersom der skal to lineært uafhængige vektorer til at udspænde R 2 . Idet v og w udgør en basis gælder, at Aw = k1v + k2w, hvor k1, k2 ∈ R. Her er k1 = 0, idet w ellers vil være en anden lineært uafhængig egenvektor
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9: viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 57: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?