Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

64 KAPITEL 4. LINEARISERING
Da y > 0 i C + gælder, at |x| ≤ y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2 f˚as:
Herefter vælges ε, s˚a
I C + f˚as derfor følgende:
r 2 ≤ y 2 + y 2 ≤ ⇔ r ≤ y √ 2
∀(x, y) ∈ Bε : |g2(x, y)| ≤ µ
2 √ 2 r
y ′ ≤ −µy + |g2(x, y)|
≤ −µy + µ
2 √ 2 r
≤ −µy + µ
2 √ 2 y√ 2
≤ −µy + µ
2 y,
≤ − µ
2 y
Dermed er y ′ < 0, eftersom −µ < 0, og y > 0.
Herefter vises, at y ′ > 0 i C − :
Da y < 0 i C − , betyder det, at |x| ≤ −y. Ved at indsætte dette i r 2 = x 2 + y 2
f˚as:
r 2 ≤ (−y) 2 + y 2 ⇔ r ≤ |y| √ 2
|g2(x, y)| vælges til det samme som i foreg˚aende bevis. I C − gælder der om y ′ ,
at
y ′ = −µy + g2(x, y)
≥ −µy − |g2(x, y)|
≥ −µy − µ
2 √ 2 r
≥ −µy − µ
2 √ 2 |y|√ 2
= −µy − µ(−y)
2
1
= (−µy)
2
Eftersom b˚ade −µ og y er negative, betyder det, at y ′ > 0 i C − . Det ønskede er
dermed bevist.
Det følger heraf at løsninger, der starter p˚a S + ε ∩ C, er aftagende i y-aksens retning,
s˚a længe de er i C + . Det er dermed kun muligt for en løsning at blive i C +
for alle t, s˚afremt den nærmer sig origo. Mængden af punkter i S + ε , hvortil løsningen
forlader C til højre, er dermed ét ˚abent interval. Dette skyldes eksistensog
entydighedssætning 2.14, da det er umuligt for to løsningskurver at skære
hinanden, se figur 4.2.