Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevise en sætning omhandlende, hvorn˚ar de 1.
ordens partielle afledede eksisterer:
Sætning 4.4 Eksistensen af de 1. ordens partielle afledede
Lad f : R 2 → R 2 være en funktion. Hvis f er differentiabel i punktet
a ∈ R 2 , s˚a eksisterer begge 1. ordens partielle afledede af f i a.
Bevis. Lad B være en 2 × 2 matrix, som opfylder ligning (4.2). Lad j = 1, 2
og sæt h = tej. Om vektor h gælder dermed, at
1 t
h = t =
0 0
∨
0 0
h = t =
1 t
Først undersøges det tilfælde, hvor t > 0. N˚ar ||h|| beregnes, er det underordnet,
hvilken af de to vektorer h er. Derfor beregnes den for h = [ t 0 ]:
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = t
Ved at indsætte de fundne udtryk for h og ||h|| i (4.2) f˚as:
f(a + tej) − f(a) − Btej
lim
= 0
t→0+
t
⇔
f(a + tej) − f(a)
lim
− Bej = 0
t→0+ t
⇔
f(a + tej) − f(a)
lim
= Bej
t→0+ t
b1j
N˚ar enhedsvektoren ej ganges p˚a matricen B, f˚as vektoren
sættes i ligning (4.5):
f(a + tej) − f(a)
lim
=
t→0+ t
b1j
b2j
b2j
57
(4.5)
. Dette ind-
For at de partielle afledede eksisterer er det nødvendigt, at grænseværdien bliver
den samme, n˚ar t < 0. N˚ar t < 0, bliver ||h||:
||h|| = t 2 + 0 2 = |t| = −t
||h|| samt h = tej indsættes i ligning (4.2):
f(a + tej) − f(a) − Btej
lim
= 0 ⇔
t→0−
−t
f(a + tej) − f(a)
lim
+ Bej = 0 ⇔
t→0− −t
f(a + tej) − f(a)
− lim
= Bej ⇔
t→0− −t
f(a + tej) − f(a)
lim
= Bej ⇔
t→0− t
f(a + tej) − f(a) b1j
lim
=
t→0− t
b2j