Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

viii INDHOLD 6 Numerisk approksimation 83 6.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.1 Eulers metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.2 Runge-Kuttametoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7 Afrunding 91 A Appendiks 95 A.1 Separation af de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A.2 Kædereglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.3 Middelværdisætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 A.4 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 A.5 Iterationer ved RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Indledning Dette projekt tager udgangspunkt i sædvanlige differentialligninger. Disse er interessante at beskæftige sig med, eftersom der findes mange fænomener, som kan beskrives ved hjælp heraf. Et eksempel herp˚a er forholdet mellem populationer af rovdyr og byttedyr. Rovdyrenes eksistens er fortrinsvist betinget af, at de har adgang til nok føde. Rovdyrene for˚arsager dermed, at der sker et fald i antallet af byttedyr. N˚ar der ikke længere er nok byttedyr til at opretholde populationen af rovdyr, vil denne aftage. Populationen af byttedyr vil s˚aledes igen vokse. De to populationers størrelser er dermed i høj grad afhængige af hinanden. Dette afhængighedsforhold kan modelleres vha. et differentialligningssystem. Det gøres ved at lade en differentialligning beskrive væksten for byttedyrene og en anden beskrive væksten for rovdyrene. Hvis antallet af rovdyr og byttedyr til et givet tidspunkt er kendt, vil det ud fra kendskabet til tilvæksten for populationerne være muligt at udtale sig om antallet af rovdyr og byttedyr efter et stykke tid. Rovdyr-byttedyrsmodellen blev først beskrevet af de to matematikere Alfred James Lotka og Vito Volterra. De havde udviklet den uafhængigt af hinanden i midten af 1920’erne. Modellen kaldes derfor ogs˚a for Lotka-Volterramodellen. I denne rapport anvendes Lotka-Volterramodellen som gennemg˚aende eksempel. Dvs. at vi efter gennemgangen af noget teori eksemplificerer det gennemg˚aede med Lotka-Volterramodellen. Efter en kort introduktion til differentialligninger og systemer af s˚adanne, indledes rapporten med eksistens og entydighed af løsninger til differentialligninger. Dette er fokus i projektet. Det er af naturlige˚arsager væsentligt at vide, hvorvidt en løsning overhovedet eksisterer. Men entydigheden af en s˚adan er ogs˚a meget vigtig. Det skyldes, at det f.eks. i Lotka-Volterramodellen ikke er hensigtsmæssigt, at der f˚as forskellige forslag til forholdet mellem bestanden af rovdyr og byttedyr til et givet tidspunkt. Modellen vil i s˚a fald være nyttesløs. Vi anvender i kapitlet om eksistens og entydighed ikke Lotka-Volterramodellen som eksempel. Dette vælger vi, eftersom vi finder det væsentligt at komme med eksempler p˚a løsninger til differentialligninger, som enten ikke er globale eller entydige. Efter eksistens og entydighed beskæftiger vi os med den teori, som knytter sig til løsninger til plane systemer af differentialligninger. Dette kan ikke umiddelbart anvendes til Lotka-Volterramodellen. Derfor udelader vi at eksemplificere i dette tilfælde. Teorien er imidlertid en forudsætning for vores videre arbejde med modellen, hvorfor det er medtaget. Dernæst beskæftiger vi os med linearisering og stabilitet af ligevægtspunkter. Dette er to vigtige metoder, som kan bruges til at konkludere, hvorledes et system, der ikke umiddelbart er analyserbart, opfører sig. Vi anvender begge
Page 1: Plane Differentialligningssystemer
Page 5: Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 59 and 60:
3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62:
3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64:
Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66:
Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68:
4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70:
4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72:
4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74:
4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76:
4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78:
Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80:
5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82:
5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84:
5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86:
5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88:
5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89:
5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93:
84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103:
[Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105:
Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107:
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?