Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.2 Systemer med kanoniske matricer 43
Lemma 3.9 Reelle løsninger fra en kompleks løsning
Hvis v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax, s˚a er
vRe(t) og vIm(t) reelle løsninger til systemet.
Bevis. Antag, at v(t) = vRe(t) + ivIm(t) er en kompleks løsning til x ′ = Ax.
Dermed gælder, at
v ′ (t) = Av(t) ⇒
v ′ (t)Re + iv ′ (t)Im = AvRe(t) + iAvIm(t) ⇒
v ′ (t)Re = AvRe(t) ∧ v ′ (t)Im = AvIm(t)
Heraf fremg˚ar det, at vRe(t) og vIm(t) opfylder x ′ = Ax, s˚a vRe(t) og vIm(t) er
reelle løsninger.
Fra lemma 3.9 vides dermed, at xRe(t) og xIm(t) er løsninger til x ′ = Ax.
Herefter undersøges om xRe(0) og xIm(0) er lineært uafhængige:
xRe(0) = e 0α
cos(0β) 1
=
− sin(0β) 0
xIm(0) = e 0α
sin(0β) 0
=
cos(0β) 1
Dermed er xRe(0) og xIm(0) lineært uafhængige vektorer. Det betyder, at xRe(t)
og xIm(t) er lineært uafhængige løsninger. Ifølge sætning 3.8 bliver den generelle
løsning s˚aledes følgende:
x(t) = k1e αt
cos(βt)
+ k2e
− sin(βt)
αt
sin(βt)
cos(βt)
(3.16)
Dernæst undersøges faseportrættet for systemet x ′ = Ax, n˚ar den generelle
løsning er p˚a formen angivet i ligning (3.16). Af sætning 3.4 følger, at x ′ = Ax
har et entydigt ligevægtspunkt i origo, idet β = 0 medfører at:
detA = α 2 + β 2 = 0
Betragt først det tilfælde, hvor α = 0. Det giver følgende generelle løsning:
cos(βt) sin(βt)
x(t) = k1
+ k2
− sin(βt) cos(βt)
Eftersom f(x) = cos(x) og g(x) = sin(x) for x ∈ R er periodiske funktioner med
. Samtlige
perioden 2π, er enhver løsning til x ′ = Ax periodisk med perioden 2π
β
løsninger afbildes som cirkler med centrum i origo. For at indse dette bemærkes,
at løsningerne er cirkler i origo, hvis og kun hvis ||x(t) − 0|| 2 = ||x(t)|| 2 = k,
hvor k ∈ R. Dette gør sig gældende i dette tilfælde, hvilket begrundes herunder.
Der gælder, at
cos(βt)
− sin(βt) =
sin(βt)
cos(βt) =
sin(βt) 2 + cos(βt) 2 = 1