Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

A.3 Middelværdisætning For at bevise den generaliserede middelværdisætning er det nødvendigt først at bevise Rolle’s sætning, da denne bruges til udledning af førstnævnte sætning. Begge sætninger bygger p˚a [Wad04]. Lemma A.3 Rolle’s sætning Lad f : I → R, hvor I ⊆ R, være en funktion, og lad a, b ∈ I, hvor a = b. Hvis f er kontinuert p˚a intervallet [a; b], differentiabel p˚a ]a; b[, og f(a) = f(b), s˚a eksisterer c ∈]a; b[, s˚aledes f ′ (c) = 0. Bevis. Funktionen f er kontinuert p˚a det lukket interval [a; b]. I henhold til sætning 3.26 i [Wad04] antager f dermed b˚ade maksimum M og minimum m i intervallet. I det tilfælde at m = M, er f en konstant funktion p˚a intervallet [a; b], og f ′ (x) = 0 for alle x ∈]a; b[. Antag derfor, at m < M. Hvis f(a) = f(b), antager f enten M eller m i et punkt c ∈]a; b[. Idet m = M, kan f ikke antage m i det ene endepunkt og M i det andet. Sætningen bevises i det tilfælde, hvor f antager M i et punkt c ∈]a; b[. Beviset for f(c) = m følger analogt. Da M er maksimum for f p˚a [a; b], gælder for alle h ∈ R, for hvilke c+h ∈ [a; b], følgende: Hvis h > 0 f˚as, at For h < 0 f˚as, at Eftersom f er differentiabel, følger at f(c + h) − f(c) ≤ 0 f ′ f(c + h) − f(c) (c) = lim ≤ 0 h→0+ h f ′ f(c + h) − f(c) (c) = lim ≥ 0 h→0− h f ′ f(c + h) − f(c) (c) = lim = 0 h→0 h Hermed er sætningen bevist. Nu er det muligt at bevise den generaliserede middelværdisætning: Sætning A.4 Den generaliserede middelværdisætning Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionerne f og g er kontinuerte p˚a intervallet [a; b] og differentiable p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[, s˚aledes at f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a)
Bevis. Til at bevise sætningen indføres en funktion h: h(x) = f(x) g(b) − g(a) − g(x) f(b) − f(a) Af forskriften for h fremg˚ar det, at h er kontinuert p˚a [a; b], eftersom f og g er kontinuerte p˚a [a; b], jf. sætning 3.22 i [Wad04]. Eftersom f og g er differentiable p˚a ]a; b[, er h ogs˚a differentiabel p˚a ]a; b[. Det følger af sætning 4.10 i [Wad04]. Hvis h differentieres, f˚as følgende: h ′ (x) = f ′ (x) g(b) − g(a) − g ′ (x) f(b) − f(a) Funktionsværdien af h beregnes i endepunkterne af intervallet [a; b]: h(b) = f(b) g(b) − g(a) − g(b) f(b) − f(a) = f(b)g(b) − f(b)g(a) − g(b)f(b) + g(b)f(a) = g(b)f(a) − f(b)g(a) h(a) = f(a) g(b) − g(a) − g(a) f(b) − f(a) = f(a)g(b) − f(a)g(a) − g(a)f(b) + g(a)f(a) = g(b)f(a) − f(b)g(a) Heraf ses, at h(a) = h(b). Hermed er det vist, at Rolle’s sætning A.3 kan anvendes p˚a h. Det betyder, at der eksisterer mindst et c ∈]a; b[, s˚a h ′ (c) = 0, dvs.: h ′ (c) = f ′ (c) g(b) − g(a) − g ′ (c) f(b) − f(a) = 0 ⇔ g ′ (c) f(b) − f(a) = f ′ (c) g(b) − g(a) Dermed er sætningen bevist. Af den generaliserede middelværdisætning følger nedenst˚aende middelværdisætning: Korollar A.5 Middelværdisætning Antag, at a, b ∈ R, hvor a = b. Hvis funktionen f er kontinuert p˚a intervallet [a; b] og differentiabel p˚a ]a, b[, s˚a eksisterer et c ∈]a, b[, s˚aledes f(b) − f(a) = f ′ (c)(b − a) Bevis. Indfør en funktion g(x) = x. Eftersom g er kontinuert p˚a [a; b] og differentiabel p˚a ]a; b[, eksisterer i henhold til A.4 et c ∈]a; b[, s˚a f ′ (c) g(b) − g(a) = g ′ (c) f(b) − f(a) ⇒ f ′ (c)(b − a) = f(b) − f(a) Hermed er det ønskede bevist.
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40:
Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 59 and 60: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?