Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Kapitel 4
Linearisering
Vi vil i dette kapitel redegøre for, hvorledes det er muligt at anvende linearisering
til at udtale sig om, hvordan flowet for et ikke-lineært differentialligningssystem
ser ud. Før vi bliver i stand til dette, er vi nødt til at introducere partielle
afledede og medtage en sætning om deres eksistens.
Definition 4.1 Partielle afledede
Lad U være en ˚aben delmængde af R 2 og f : U → R være en funktion.
Den 1. ordens partielle afledte af f i punktet a ∈ U med hensyn til den
j’te variabel xj er givet ved:
∂f
∂xj
f(a + hej) − f(a)
(a) = lim
h→0 h
(4.1)
Vi vil nu definere, hvad det vil sige, at en vektorfunktion er differentiabel:
Definition 4.2 Differentiabilitet af vektorfunktioner
Lad f : R 2 → R 2 .
• Vektorfunktionen f er differentiabel i et punkt a ∈ R 2 , hvis og
kun hvis der findes en ˚aben delmængde V ⊂ R 2 , der indeholder
a, s˚aledes f : V → R2 , og der findes en lineær transformation
→ 0, n˚ar h → 0, er opfyldt for funktionen
T : R 2 → R 2 , s˚a ε(h)
||h||
ε(h) = f(a + h) − f(a) − T (h)
• Vektorfunktionen f er differentiabel p˚a en mængde E, hvis og
kun hvis E = ∅, og f er differentiabel i ethvert punkt i E.
Ifølge sætning 8.15 i [Wad04] kan T ∈ L(R 2 , R 2 ) altid repræsenteres ved hjælp
af en (2 × 2)-matrix. Dermed er vektorfunktionen f differentiabel i et punkt a,