Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
2.2 Banachs fikspunktssætning
Dette afsnit munder ud i at vise Banachs fikspunktssætning. Afsnittet bygger
p˚a [Coh03]. Først skal nogle udtryk og begreber dog introduceres. Vi starter
med konvergens.
Definition 2.2 Konvergens
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) konvergerer mod et element
x ∈ M, hvis
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n > Nε : d(xn, x) < ε
I definition 2.2 skrives et nedsunket ε efter N for at angive, at N afhænger af
ε. Denne m˚ade at angive, hvis en konstant afhænger af noget, vil blive benyttet
meget fremover. Herunder defineres en speciel type følger:
Definition 2.3 Cauchy-følger
En følge {xn}n≥1 i et metrisk rum (M, d) kaldes en Cauchy-følge, hvis
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀p, q ≥ Nε : d(xp, xq) < ε
Følgende definition omhandler en egenskab ved et metrisk rum:
Definition 2.4 Fuldstændigt metrisk rum
Hvis enhver Cauchy-følge i et metrisk rum konvergerer, s˚a er det
metriske rum fuldstændigt.
Herefter vises, at en bestemt mængde sammen med en bestemt metrik udgør et
metrisk rum:
Lemma 2.5
C([a, b]), d∞ er et metrisk rum
Lad a, b ∈ R med a < b, og lad en mængde været givet ved:
C([a, b]) = f : [a, b] → R 2 f er kontinuert p˚a [a, b]
Lad f, g ∈ C([a, b]), og lad d∞ være metrikken givet ved:
d∞(f, g) = sup f(t) − g(t) t∈[a,b]
Da er
C([a, b]), d∞ et metrisk rum.
Bevis. For at vise at C([a, b]), d∞
er et metrisk rum, skal det vises, at d∞
opfylder de tre betingelser givet i definition 2.1. Derudover skal der gælde, at