Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
6.1.1 Afvigelse ved Eulers metode
Da Eulers metode kun er en approksimation af de egentlige værdier
x1(t), x2(t), . . . , xn(t), vil der være en afvigelse. Der er flere faktorer, der bidrager
til denne afvigelse.
Afvigelsen i følgende lineære approksimationsformel kan bestemmes ved
de = x(tk+1) − xk+1:
x(tk+1) ≈ xk + hf(tk, xk) = xk+1
Denne form for afvigelse betegnes ogs˚a en lokal fejl, da afvigelsens størrelse er
lokalt til punktet tk+1, hvor x(tk+1) skal approksimeres.
Hvert skridt i approksimationsprocessen resulterer i en ny afvigelse. S˚aledes er
en afvigelse, som fremkommer tidligt i forløbet, med til at afgøre, hvordan de
efterfølgende approksimationsresultater bliver. Dette fænomen kaldes ogs˚a for
global fejl.
En m˚ade at begrænse afvigelsen p˚a er, at lade approksimationsprocessen iterere
over flere skridt, hvilket indebærer, at afvigelsen for de enkelte skridt bliver
mindre og dermed giver en mindre afvigelse for et stort antal iterationer.
For at give et estimat af hvad der sker med afvigelsen, n˚ar antallet af skridt
forøges, skal 2. ordens Taylorpolynomiet betragtes med restled R1:
x(t1) = x0 + x ′ (t0)h + 1
2 x′′ (c)h 2 ,
hvor R1 = 1
2 x′′ (c)h 2 , og c ligger mellem t1 og t0
Herefter vurderes den numeriske værdi af restleddet opadtil. Funktionen x ′′ er
kontinuert p˚a en lukket og begrænset mængde, da f er C 1 . Dermed følger det,
at
|R1| = |x1 − x(t1)| ≤ 1
2 Mh2 , hvor M = sup x
c mellem t1 og t0
′′ (c).
Dette viser, at afvigelsen for en lokal fejl er i størrelsesordenen O(h 2 ). Herefter
bestemmes, hvor stor den globale fejl kan blive. For n iterationer med
skridtlængde h er nh = b − a, hvor x0 = a og xn−1 = b. Den globale fejl E
kan derfor bestemmes ved
E = nMh 2 = M(b − a)h (6.2)
Den globale fejl angives med O-notation. Af ligning (6.2) f˚as, at den globale
fejl kun er i størrelsesordenen O(h). Heraf fremg˚ar det, at n˚ar h formindskes,
forbedres approksimationen.
6.2 Runge-Kuttametoder
En anden iterationsmetode kaldes for Runge-Kuttaapproksimation. Denne
metode tager samme udgangspunkt som Eulers metode, hvor der ønskes at approksimere
løsningen x(t), s˚aledes følgende er opfyldt:
dx
dt = f(t, x), x(t0) = x0