Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.1 Plane systemer af differentialligninger 37
• λ1 = λ2:
• λ1 = λ2:
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0)(t − t0)
ψ(t) = ξ(t0) + cµ(t0) e(λ2−λ1)(t−t0)
λ2 − λ1
S˚aledes er ξ(t) ogs˚a bestemt, da ξ(t) = e λ1(t−t0) ψ(t). Nu kan løsningen i ligning
(3.5) skrives som
x(t) = ψ(t)e λ1(t−t0) v + µ(t0)e λ2(t−t0) u
Dermed er det nu vist, at der eksisterer løsninger til ligningssystemer af typen
x ′ = Ax, og de kan skrives p˚a formen:
x(t) = k1(t)e λ1t v + k2e λ2t u, k1 : R → C, k2 ∈ C
Dermed er sætningen bevist.
Her følger endnu en sætning om løsningsmængden til x ′ = Ax:
Sætning 3.8 Løsningsmængde til x ′ = Ax II
Lad x1(t) og x2(t) være globale, lineært uafhængige løsninger til x ′ =
Ax. Da er løsningsmængden til x ′ = Ax givet ved:
LA = k1x1(t) + k2x2(t) k1, k2 ∈ R
(3.11)
Bevis. Idet f(x) = Ax er kontinuert og i henhold til sætning 2.12 opfylder
en lokal Lipschitz-betingelse, gælder eksistens- og entydighedssætning 2.14 for
systemet. Dermed f˚as, at der eksisterer en entydig, lokal løsning x(t), hvor
t ∈]t0 − h, t0 + h[ for h > 0, som opfylder x(t0) = x0.
Eftersom x1(t) og x2(t) er lineært uafhængige, er det muligt at vælge k1, k2 ∈ R,
s˚a
k1x1(t0) + k2x2(t0) = x0
Af samme ˚arsag er det muligt at vælge k ′ 1, k ′ 2 ∈ R, s˚a følgende er en løsning til
x ′ = Ax med x(t0) = x0:
u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)
Da x1(t) og x2(t) er globale løsninger, er u(t) ogs˚a global. S˚aledes er denne
løsning ogs˚a defineret for t ∈]t0 − h, t0 + h[. I henhold til eksistens- og entydighedssætning
2.14 er løsningen entydig, s˚a
x(t) = u(t) = k ′ 1x1(t) + k ′ 2x2(t)
Dermed er løsningen p˚a formen angivet i mængde (3.11).