Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Bilag A
Appendiks
A.1 Separation af de variable
Dette appendiks er baseret p˚a [CF99].
Sætning A.1 Separation af de variable
Lad funktionen h være kontinuert i intervallet I, og lad funktionen g
være kontinuert i intervallet J. Funktionen g skal desuden opfylde, at
g(x) = 0 for alle x ∈ J. Lad f : I → J være en funktion. Da gælder,
at
x = f(t) er løsning til
x = f(t) er løsning til
dx
= h(t)g(x) ⇔
dt
1
dx = h(t)dt
g(x)
Bevis. Det antages, at h er kontinuert p˚a intervallet I, og at g er kontinuert
og forskellig fra 0 p˚a intervallet J.
Der tages udgangspunkt i udtrykket dx
dt = h(t) · g(x). Eftersom g(x) = 0 for alle
x ∈ J, er det tilladt at dividere g(x) over p˚a den anden side:
dx
dt
1 dx
= h(t)g(x) ⇔ = h(t)
g(x) dt
Herefter erstattes x med f(t) og dx
dt med f ′ (t):
1 dx
= h(t) ⇔
g(x) dt
1
g(f(t)) f ′ (t) = h(t) (A.1)
Eftersom g er kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J, betyder det i henhold
til sætning 3.22 i [Wad04], at funktionen 1
g(x) ogs˚a er kontinuert p˚a J. Det er
derfor muligt at finde en stamfunktion G hertil, jf. sætning 5.10 i [Wad04]:
1
G(x) =
g(x) dx ⇔ G′ (x) = 1
g(x)