Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

72 KAPITEL 5. STABILITET y x−nulkline Ligevægtspunkt y−nulkline Figur 5.4: Opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne. Af ovenst˚aende fremg˚ar det, at en opdeling af planen efter x- og y-nulklinerne giver oplysninger om løsningernes opførsel. Ud fra nulklinerne er det muligt at bestemme, hvorvidt et ligevægtspunkt er stabilt eller ustabilt. Hvis samtlige vektorer i de omr˚ader, som grænser op mod ligevægtspunktet, peger ind mod det, er ligevægtspunktet stabilt. Det er ikke muligt ud fra nulklinerne alene at bestemme, om et ligevægtspunkt er asymptotisk stabilt eller blot stabilt. Det skyldes, at der f.eks. kan være lukkede kurver i vektorfeltet. Et eksempel p˚a dette er <strong>Lotka</strong>-<strong>Volterramodellen</strong>, jf. figur 5.5. 5.1.2 Lyapunov-funktioner I det følgende defineres nogle begreber omhandlende stabilitet. Dette munder ud i en sætning omhandlende Lyapunov-funktioner, som ogs˚a vil blive defineret herunder. Definition 5.3 α- og ω-grænsepunkter Betragt systemet x ′ = f(x), hvor x ∈ R 2 , og f : R 2 → R 2 . Mængden af αf -grænsepunkter er givet ved: αf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z, og en følge {tn}n≥1 i R med lim n→∞ tn = −∞, s˚aledes lim n→∞ x(tn) = z Mængden af ωf -grænsepunkter er følgende: ωf = z ∈ R 2 | Der eksisterer en løsning x(t) med x(0) = z, og en følge {tn}n≥1 i R med lim n→∞ tn = ∞, s˚aledes lim n→∞ x(tn) = z x
5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som eksempel kan tages et sadelpunkt. Det er et α-grænsepunkt for den ustabile akse og et ω-grænsepunkt for den stabile akse. Den følgende definition omhandler, hvad det betyder, hvis en funktion er definit eller semidefinit: Definition 5.4 Definit og semidefinit Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben, og x ∗ ∈ O er et ligevægtspunkt. • Funktionen L er positiv definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) > 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }. • Funktionen L er negativ definit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) < 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }. • Funktionen L er positiv semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) ≥ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }. • Funktionen L er negativ semidefinit p˚a O, hvis L(x ∗ ) = 0, og L(x) ≤ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }. Den næste definition behandler urbillede [Coh03]: Definition 5.5 Urbillede Lad U, V, W være mængder, og lad f : V → W være en funktion. Hvis U ⊆ W , kaldes følgende for urbilledet af U: f −1 (U) = v ∈ V f(v) ∈ U Ud fra definition 5.4 kan en Lyapunov-funktion defineres: Definition 5.6 Lyapunov-funktioner Lad L : O → R være en funktion, hvor O ⊆ R 2 . Betragt differentialligningssystemet x ′ = f(x) med ligevægtspunktet x ∗ ∈ O. Lad ˙ L : O → R være en funktion givet ved ˙L(x) = DL(x) f(x) Funktionen L kaldes en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , hvis L er positiv definit, og ˙ L er negativ semidefinit. Funktionen L kaldes en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚afremt L er positiv definit og ˙ L er negativ definit. Før gennemgangen af Lyapunovs sætning gives en begrundelse for definitionen af ˙ L. Det gøres ved at betragte systemet x ′ = f(x) med ligevægtspunkt x ∗ . Lad L : O → R være en Lyapunov-funktion for f i x ∗ , og lad x(t) angive en løsning,
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31: 22 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?