Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

86 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATION
følgende:
xn+1 = xn + h k1 + 2(k2 + k3) + k4
, hvor
6
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k1 = f(tn, xn)
k2 = f(tn + h
2 , xn + h
2 k1)
k3 = f(tn + h
2 , xn + h
2 k2)
k4 = f(tn + h, xn + hk3)
(6.6)
Her er k1, k2, k3 og k4 hældninger, hvilke er estimater p˚anær k1 ved den første
approksimation.
6.2.1 Afvigelse ved Runge-Kuttametoder
Ligesom i Eulers metode angiver vi afvigelsen og fejlen ved hjælp af O-notation.
Fejlens størrelse angives med hensyn til skridtlængden h. Det gøres først for 2.
ordens og efterfølgende for 4. ordens Runge-Kuttametoden.
For 2. ordens Runge-Kuttametoden følger fra ligning (6.4), at den har en fejl af
størrelsesordenen O(h). Fra ligning (6.3) følger, at restleddene er af størrelsesordenen
O(h 3 ), da ligning (6.4) bliver multipliceret med h 2 .
Argumentationen følger analogt for 4. ordens Runge-Kuttametoden. Den globale
fejl bestemmes her til O(h 4 ). Det følger af, at for det enkelte skridt er restleddet
af størrelsesordenen O(h 5 ) ≈ Ch 5 , hvor C ∈ R, eftersom
Ch 5 N = (b − a)Ch 5 = Ch 4
Det skyldes, at N = b − a, og h = b−a
N . Som følge deraf bliver den samlede rest
af størrelsesordenen O(h4 ).
6.3 Lotka-Volterra
Vi benytter i dette afsnit de metoder, som blev gennemg˚aet ovenfor, til at approksimere
en løsning til Lotka-Volterramodellen. Der vurderes ogs˚a p˚a, hvor
gode metoderne er.
6.3.1 Eulers metode
I dette afsnit anvendes Eulers metode p˚a Lotka-Volterramodellen. Som tidligere
nævnt indeholder modellen to variable, b og r:
⎫
db
= (A − Br)b ⎪⎬
dt
hvor A, B, C, D ∈ R+ (6.7)
dr
= (Cb − D)r
⎪⎭
dt
Derfor f˚as ved sætte h = ∆t og anvende formel (6.1), at
bk = bk−1 + (A − Brk−1)bk−1∆t
rk = rk−1 + (Cbk−1 + D)rk−1∆t
For at kunne udføre eksperimenter skal konstanterne A, B, C, D samt begyndelsesværdierne
b(t0) = b0 og r(t0) = r0 være kendte.