Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4.2 Lotka-Volterra 67
Af figur 4.3 tyder det p˚a, at løsningskurverne er lukkede. Der kommer en begrundelse
herfor i et efterfølgende kapitel. Det betyder, at hverken rovdyr eller
byttedyr kan uddø, n˚ar konstanterne A, B, C og D er valgt til 1. P˚a figur 4.3 ses
det, at n˚ar populationen af byttedyr er tilstrækkelig lav, vil antallet af rovdyr
svinde, da der ikke er føde nok til at opretholde populationen. Dette medfører,
at der ikke er s˚a mange rovdyr til at nedfælde byttedyrene, hvilket betyder, at
antallet af byttedyr igen stiger.
I det tidsrum, hvor populationen af byttedyr er i vækst, vil antallet af rovdyr
ogs˚a stige, da rovdyrene nu har adgang til mere føde. Væksten i de to populationer
vil imidlertid foreg˚a tidsforskudt, eftersom væksten i antallet af byttedyr
er en forudsætning for væksten i antallet af rovdyr. N˚ar der er mange byttedyr,
er væksten i populationen hos rovdyrene størst. P˚a et tidspunkt vil populationen
af rovdyr være s˚a stor, at der ikke er føde nok, og populationen vil dermed
svinde. S˚aledes er vi tilbage ved udgangspunktet.
4.2.1 Eksistens og entydighed
Ifølge sætning 2.14 skal højresiderne af ligningssystem (4.8) være kontinuerte
og opfylde en lokal Lipschitz-betingelse, for at der eksisterer en entydig, lokal
løsning til systemet til en bestemt begyndelsesværdi. Da de partielle afledte
eksisterer og er kontinuerte, er disse betingelser opfyldte og s˚aledes har systemet
entydige, lokale løsninger.
4.2.2 Ligevægtspunkter
Det er interessant at bestemme ligevægtspunkter for dette system, fordi et ligevægtspunkt
vil betyde, at populationerne af rovdyr og byttedyr er konstante.
Ligevægtspunkter i differentialligningssystem (4.8) bestemmes ved at finde ud
= 0:
af for hvilke værdier, det er opfyldt, at b˚ade db
dt
= 0, og dr
dt
0 = b(A − Br) og 0 = r(Cb − D)
Først løses ligningen b(A − Br) = 0. Ved hjælp af nulreglen f˚as:
b = 0 ∨ A − Br = 0 ⇔ r = A
∨ b = 0
B
For at bestemme r-værdien hørende til b = 0 indsættes b = 0 i r(Cb − D) = 0:
r(C · 0 − D) = 0 ⇒ −Dr = 0
Da D ∈ R+, f˚ar vi, at r = 0.
For at bestemme b-værdien hørende til r = A
B , indsættes r-værdien i
r(Cb − D) = 0:
A
B
(Cb − D) = 0 ⇔ A
B
A
D
Cb = D ⇔ Cb = D ⇔ b =
B C
Dette betyder, at de to ligevægtspunkter for system (4.8) er givet ved (0, 0) og
( D A
C , B ).
Jacobimatricen for f(b, r) = f1(b, r), f2(b, r) i et punkt (x, y) ser s˚aledes ud: