Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

66 KAPITEL 4. LINEARISERING
kan følgende differentialligning beskrive faldet i antallet af byttedyr:
db
= −Bbr B ∈ R+
dt
Hvis vi sætter de to differentialligninger sammen, som omhandler byttedyrene,
f˚ar vi, at følgende differentialligning modellerer væksthastigheden for byttedyr:
db
= Ab − Brb = (A − Br)b, A, B ∈ R+
dt
P˚a samme m˚ade er det muligt at bestemme en differentialligning, der kan modellere
væksthastigheden for rovdyrene. Mødet med byttedyrene har en positiv
indvirkning p˚a antallet af rovdyr. Vi lader konstanten C betegne reproduktionsraten
for rovdyr, der afhænger af antallet af byttedyr, de har ædt. Dermed kan
følgende differentialligning beskrive væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de har
adgang til deres fødekilde:
dr
dt
= Cbr
Væksthastigheden for rovdyrene kan derfor samlet beskrives med differentialligningen
dr
= Cbr − Dr = (Cb − D)r, C, D ∈ R+
dt
Ovenst˚aende giver anledning til følgende differentialligningssystem:
⎧
⎪⎨
f(b, r) =
⎪⎩
db
dt
dr
dt
= (A − Br)b
= (Cb − D)r
, hvor A, B, C, D ∈ R+
(4.8)
P˚a figur 4.3 ses retningsfeltet for differentialligningssystem (4.8). Konstanterne
er i dette tilfælde angivet til A = B = C = D = 1. Desuden viser figuren to
mulige løsningskurver.
Rovdyr
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
Byttedyr
Figur 4.3: Lotka-Volterramodellen med konstanterne A = B = C = D = 1.