Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

6
KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL
DIFFERENTIALLIGNINGER
I et koblet differentialligningssystem indg˚ar en eller flere variable i to eller flere
af systemets ligninger.
Det er muligt at skrive et system af differentialligninger p˚a den simplere matrixform:
Her er
x ′ = f(t, x)
⎡
⎤
f1(t, x1, x2, . . . , xn)
⎢
⎢f2(t,
x1, x2, . . . , xn) ⎥
f(t, x) = ⎢
⎥
⎣ . ⎦
fn(t, x1, x2, . . . , xn)
Bemærk, at funktionen fi for i ∈ {1, 2, . . . , n} betegner en kontinuert funktion,
hvor ikke andet er nævnt.
Herover er de grundlæggende begreber for differentialligningssystemer blevet
gennemg˚aet. I det følgende afsnit udledes to differentialligninger for rovdyr og
byttedyr.
1.1 Rovdyr og byttedyr
I indledningen blev der givet en kort introduktion til rovdyr-byttedyrsmodellen,
der ogs˚a kaldes Lotka-Volterramodellen. I dette afsnit, der er baseret p˚a [Wei91],
redegøres for, hvordan det matematisk set er muligt at beskrive, hvorledes
rovdyrene og byttedyrene i et økosystem p˚avirker hinanden.
Vi lægger ud med at betragte, hvordan bestanden af byttedyr vil opføre sig over
tid, hvis de lever isolerede fra rovdyrene. For at gøre modellen simpel antages det,
at byttedyrene har ubegrænset adgang til nødvendige ressourcer, s˚asom føde,
plads og parringspartnere. Derudover antages det, at byttedyrene ikke betragter
hinanden som potentiel føde. Det eneste, vi s˚aledes tager med i modellen, er
fødsels- og dødsrate.
Vi lader b(t) være en kontinuert funktion, som repræsenterer antallet af byttedyr
til tiden t. Ganske vist kan en kontinuert funktion ikke beskrive antallet af dyr
præcist, men den er tilstrækkelig præcis for større populationer. Hvis ∆b angiver
ændringen i populationens størrelse over et tidsinterval [t, t + ∆t], f˚as:
∆b = b(t + ∆t) − b(t) (1.5)
Vi lader A være en konstant, der repræsenterer fødselsrate pr. tidsenhed minus
dødsrate pr. tidsenhed. Vi antager, at fødselsraten er større end dødsraten, n˚ar
byttedyrene lever isolerede. Dermed er A > 0.
Vi vil s˚aledes være i stand til at beskrive populationen af byttedyr til tiden
t + ∆t ved følgende model:
Hvis vi i ligning (1.5) isolerer b(t + ∆t) f˚as
b(t + ∆t) = b(t) + Ab(t)∆t (1.6)
b(t + ∆t) = ∆b + b(t)