Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

20 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Hermed er det bevist, at f opfylder en lokal Lipschitz-betingelse p˚a U ′ .
Det følgende lemma, som bruges i beviset for sætningen om eksistens og entydighed,
omhandler, hvorledes det er muligt at omskrive begyndelsesværdiproblem
(2.14).
Lemma 2.13 Differentialligning og integralligning
Lad s, t, t0 ∈ R, ˜x ∈ R 2 , x : R → R 2 , og f : R × R 2 → R 2 . Da gælder,
at
x(t) er en løsning til x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x ⇔
t
x(t) er en løsning til x(t) = ˜x + f v, x(v) dv
Bevis.
”⇒”: Antag, at x(t) er en løsning til begyndelsesværdiproblemet
Sæt
t0
x ′ (t) = f t, x(t) , x(t0) = ˜x
t
y(t) = ˜x + f v, x(v) dv (2.16)
t0
Herefter vises, at x(t) = y(t) for alle t ∈ R. Derved er det bevist, at x(t) er en
løsning til integralligning (2.16).
Først indføres en hjælpefunktion m defineret ved
Dernæst udregnes værdien af m(t0):
m(t) = y(t) − x(t)
m(t0) = y(t0) − x(t0) = ˜x − ˜x = 0
Funktionen m differentieres ved at benytte Analysens Hovedsætning (sætning
5.28(i) i [Wad04]):
m ′ (t) = y ′ (t) − x ′ (t) = f t, x(t) − f t, x(t) = 0, ∀t ∈ R
Eftersom m ′ (t) = 0 for alle t ∈ R, er m en konstant funktion. Idet m(t0) = 0,
kan det sluttes, at
m(t) = 0, ∀t ∈ R
Det betyder, at
x(t) = y(t), ∀t ∈ R
”⇐ ”: Antag, at x(t) er en løsning til integralligningen
t
x(t) = ˜x + f v, x(v) dv
t0