Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.2 Systemer med kanoniske matricer 39
1. λ1 < 0 < λ2
2. λ1 < λ2 < 0
3. 0 < λ1 < λ2
Det er forudsat, at λi = 0 for i = 1, 2, hvilket umuliggør, at detA = 0. Ifølge
sætning 3.4 er origo derfor det eneste ligevægtspunkt.
Tilfælde 1
N˚ar k2 = 0 i ligning (3.12) f˚as løsninger p˚a formen:
x(t) = k1e λ1t
1
0
Disse løsninger vil ligge p˚a x-aksen, da de er multipla af vektoren [ 1 0 ]. Eftersom
λ1 < 0, vil løsningerne nærme sig origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes, at n˚ar a < 0,
er limt→∞ eat = 0. I dette tilfælde kaldes x-aksen den stabile akse.
Hvis k1 = 0 i ligning (3.12), vil løsningerne være p˚a formen:
x(t) = k2e λ2t
0
1
Her er løsningerne multipla af vektoren [ 0 1 ], hvilket medfører, at de ligger p˚a yaksen.
Da λ2 > 0, vil løsningerne fjerne sig fra origo, n˚ar t → ∞. Dette skyldes,
at n˚ar a > 0, s˚a er limt→∞ eat = ∞. I dette tilfælde kaldes y-aksen den ustabile
akse.
S˚afremt k1, k2 = 0, vil x(t) nærme sig
0 λ2t
k2 e , n˚ar t → ∞. Dette betyder, at
alle andre løsninger end ligevægtsløsningen, samt de to, som ligger p˚a akserne,
g˚ar mod ∞ i retning af den ustabile akse, n˚ar t → ∞.
Et faseportræt for et plant system er et koordinatsystem med x1 og x2 afbildet
ud af akserne, hvori repræsentative løsninger indtegnes. Faseportrættet for dette
system er vist p˚a figur 3.1. Ligevægtspunktet (0, 0) kaldes i dette tilfælde et
sadelpunkt.
Figur 3.1: Faseportræt af et sadelpunkt