Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

A.4 Taylors formel
Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04] og giver et bevis for Taylors formel
i R 2 . Beviset anvender Taylors formel i R, men denne bevises ikke, da den
forudsættes kendt.
For at kunne bestemme Taylors formel for funktioner af to variable starter vi
med at definere, hvad det vil sige, at en funktions p’te ordens totaldifferentiale
eksisterer.
Definition A.6 Det p’te ordens totaldifferentiale for funktioner
af to variable
Lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde. Lad a ∈ V , og lad f : V → R.
S˚aledes eksisterer f’s p’te ordens totaldifferentiale i a, hvis og kun hvis
de p’te ordens partielle afledede af f eksisterer og er differentiable i a,
hvor p ≥ 1. Det angives ved:
D (p) f(a; h) =
2
· · ·
i1=1
hvor h = (h1, h2) ∈ R 2
j=1
i1=1
2 ∂pf (a)hi1 . . . hip ,
∂xi1 . . . ∂xip
ip=1
Af definitionen følger, at
D (p) f(a; h) =
(1)
D D (p−1)
f (a; h)
⎛
=
2
2 ∂
⎝ · · ·
∂xj
2
ip−1=1
∂p−1 ⎞
f
(a)hi1 . . . hip−1
∂xi1 . . . ∂xip−1
⎠ hj
Nu da definitionen for totaldifferentialet er etableret, er der kun nogle f˚a definitioner,
som skal p˚a plads, inden Taylors formel i R 2 kan beskrives. Vi starter
med, hvad det vil sige, at en mængde er konveks:
Definition A.7 Konveks mængde
En mængde V i et Euklidisk rum, dvs. et rum med den Euklidiske
afstandsfunktion, kaldes konveks, hvis liniestykket L(a, b) ⊆ V for alle
a, b ∈ V .
Nu kan Taylors formel i R 2 beskrives: