Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

74 KAPITEL 5. STABILITET som opfylder x(t0) = x0. Ved anvendelse af kædereglen fra appendiks A.2 f˚as følgende: d L ◦ x (t0) = DL dt x(t0) x ′ (t0) = ∇L x(t0) x ′ (t0) = ∇L(x0) f(x0) = DL(x0) f(x0) = ˙ L(x0) (5.1) (5.2) (5.3) For at komme fra ligning (5.1) til ligning (5.2) benyttes, at værdimængden for L er de reelle tal. Dermed har Jacobimatricen for L i punktet x(t0) én søjle. Derfor anvendes notationen ∇L x(t0) i stedet for DL x(t0) . Dette er en vektor frem for en matrix. Vektoren ∇L x(t0) kaldes gradienten af L i punktet x(t0). Fra ligning (5.2) til ligning (5.3) udnyttes, at x(t0) er en løsning gennem x0 til differentialligningssystemet. Det betyder, at x ′ (t0) = f(x0). En Lyapunov-funktion L er i henhold til definition 5.6 positiv definit, og ˙ L er negativ semidefinit. Lad x(t) være en vilk˚arlig løsning, der ikke er en ligevægtsløsning, men hvis begyndelsesbetingelse er indeholdt i O. Da fremg˚ar det af sammenhængen mellem L og ˙ L, at L af x(t) aldrig vokser i O, idet ˙ L(x) ≤ 0 for alle x ∈ O \ {x ∗ }. Sætning 5.7 Lyapunovs sætning Lad L : O → R være en differentiabel funktion, hvor O ⊆ R 2 er ˚aben. Lad x ∗ ∈ O være et ligevægtspunkt for x ′ = f(x), hvor f : O → R 2 er C 1 . Ligevægtspunktet x ∗ er stabilt, hvis L er en Lyapunov-funktion for f i x ∗ . Ligevægtspunktet x ∗ er asymptotisk stabilt, hvis L er en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ . Denne sætning kan bruges til at bestemme stabiliteten af et ligevægtspunkt x ∗ uden at løse differentialligningssystemet. Dette gøres ved at finde en Lyapunovfunktion for f i ligevægtspunktet. Bevis. Antag, at L er en Lyapunov-funktion for f i x ∗ . Dermed skal bevises, at x ∗ er et stabilt ligevægtspunkt for x ′ = f(x). Mængden O er ˚aben, hvilket gør det muligt at vælge δ > 0, s˚a Dernæst defineres Bδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || ≤ δ} ⊆ O Sδ(x ∗ ) = x ∈ R 2 ||x − x ∗ || = δ Mængden Sδ(x ∗ ) er randen af kuglen Bδ(x ∗ ). Da Sδ(x ∗ ) er lukket og begrænset, er Sδ(x ∗ ) ifølge sætning 4.1.6 i [Coh03] kompakt. Foretag en restriktion af L til Sδ(x ∗ ), dvs. L : Sδ(x ∗ ) → R+. Værdimængden for L er R+, idet L er positiv definit. Dermed f˚as af sætning 4.3.2 i [Coh03], at ∃α ∈ R, ∀x ∈ Sδ(x ∗ ) : L(x) ≥ α (5.4)
5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Idet L er positiv definit, er α > 0. Lad herefter L være restringeret til B◦ δ , dvs. L : B◦ δ (x∗ ) → R+ ∪ {0}. Definer mængden O1 = x ∈ Bδ(x ∗ ) L(x) < α (5.5) = x ∈ B ◦ δ (x ∗ ) L(x) < α (5.6) = L −1 [0, α[ (5.7) Fra udtryk (5.5) til udtryk (5.6) bruges udtryk (5.4). For at komme fra udtryk (5.6) til udtryk (5.7) benyttes definition 5.5 af et urbillede. Funktionen L er differentiabel p˚a O, s˚a den er kontinuert p˚a O. Derudover er [0, α[ en ˚aben mængde i R+ ∪ {0}. For at bevise det er det nok at vise, at 0 ligger i det indre af R+ ∪ {0}. Hertil benyttes metrikken dE: ∃r > 0 : Br(0) = x ∈ R+ ∪ {0} dE(x, 0) = x < r = [0, r[⊂ R+ ∪ {0} Af sætning 5.4.4 i [Coh03] følger dermed, at O1 = L −1 [0, α[ er en˚aben mængde i B ◦ δ (x∗ ). Eftersom L(x ∗ ) = 0, og α > 0, er x ∗ ∈ O1. Det betyder, at O1 er en omegn om x ∗ . En løsning x(t), for hvilken x(0) = x0 ∈ O1, opfylder, at L(x0) < α. Da ˙ L er negativ semidefinit, vokser L ikke langs løsningskurver i O. Dermed f˚as, at ∀t ≥ 0, L x(t) ≤ L(x0) < α Heraf fremg˚ar det, at x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0. Det sidste, der skal bruges, er et argument for, at alle løsningskurver, som har en begyndelsesbetingelse, der ligger i O1, er defineret i O for alle t > 0. For dette argument henvises til korollar p˚a side 397 i [HSD04]. Dermed følger af definition 5.1, at x ∗ er et stabilt ligevægtspunkt. Herefter skal vises, at hvis L er en strikt Lyapunov-funktion for f i x ∗ , s˚a er x ∗ et asymptotisk stabilt ligevægtspunkt. Det betyder, at L er positiv definit, og ˙L er negativ definit. Dermed er L aftagende langs løsningskurver i O. Først bevises, at ωf = Ø. Lad x(t) ∈ O1 for alle t ≥ 0 være en løsning. Eftersom Bδ(x ∗ ) er kompakt, følger det af sætning 5.3.4 i [Coh03], at Bδ(x ∗ ) er føl- gekompakt. Det betyder, at enhver følge x(tn) x(tnk ) , hvorom det gælder, at k≥0 n→∞ i Bδ(x ∗ ) har en delfølge lim k→∞ x(tnk ) = z0 ∈ Bδ(x ∗ ) ⇔ (5.8) ∀ε > 0, ∃K > 0, ∀k > K : x(tnk ) ∈ Bε(z0) (5.9) Det betyder i henhold til definition 5.3, at z0 ∈ ωf . Herefter vises, at z0 = x ∗ . Det gøres ved et indirekte bevis. Antag, at z0 = x ∗ . Lad z(t) være en løsning med z(0) = z0. Hold s > 0 fast. Flowet ϕ til systemet x ′ = f(x) er ifølge korollar p˚a s. 147 i [HSD04] en kontinuert funktion af x. Da L ogs˚a er kontinuert, er afbildningen x0 ↦→ L ϕ(x0, s) = L x(s) kontinuert p˚a O i henhold til sætning 3.24(ii) i [Wad04]. Dermed gælder, at ∀ε > 0, ∃δs > 0 : L y(s) − L z(s) < ε, n˚ar ||y0 − z0|| < δs og y0 ∈ O
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33: 24 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?