Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′f(t) f ′ 1 (t) = f g f(t) ′ (t). Derfor er det muligt at erstatte venstresiden i (A.1) med (G ◦ f) ′ (t). Da h er kontinuert p˚a intervallet I, har den ogs˚a en stamfunktion H. Dermed er det muligt at erstatte højresiden i (A.1) med H ′ (t): 1 g f(t) f ′ (t) = h(t) ⇔ (G ◦ f) ′ (t) = H ′ (t) ⇔ (G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0 Ifølge sætning 4.10 i [Wad04] er det tilladt at samle (G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t): Herefter indsættes, at f(t) = x: (G ◦ f) ′ (t) − H ′ (t) = 0 ⇔ (G ◦ f)(t) − H(t) ′ = 0 ⇔ G f(t) − H(t) = k, k ∈ R G f(t) − H(t) = k ⇔ G(x) − H(t) = k ⇔ G(x) = H(t) + k ⇔ 1 dx = h(t)dt g(x) Den sidste biimplikation følger af definitionen af G og H.
A.2 Kædereglen Dette appendiks er baseret p˚a [Wad04]. Sætning A.2 Kædereglen for vektorfunktioner Lad a ∈ R n og lad g : R n → R m og f : R m → R p være vektorfunktioner. Hvis g er differentiabel i a, og f er differentiabel i g(a), s˚a er f ◦ g differentiabel i a, og D(f ◦ g)(a) = Df g(a) Dg(a) Bevis. Sæt T = Df g(a) Dg(a). Det er værd at bemærke, at matricen T har den rette størrelse til at være Jacobimatricen for f ◦ g(a). Dette skyldes, at T er produktet mellem en (p × m)-matrix og en (m × n)-matrix, s˚aledes bliver T en (p × n)-matrix. Jacobimatricen for en vektorfunktion i et punkt er entydig. Det følger heraf, at det, der skal vises, er, at f(g(a + h)) − f(g(a)) − T (h) lim = 0 h→0 ||h|| For at vise at ovenst˚aende gælder, sættes b = g(a). For h og k tilstrækkeligt sm˚a, sættes ε(h) og δ(k) til følgende: ε(h) = g(a + h) − g(a) − Dg(a)(h) δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k) Da g er differentiabel i a, følger at ε(h) ||h|| → 0 i Rm , n˚ar h → 0 i Rn . P˚a samme m˚ade følger, at δ(k) ||k|| → 0 i Rp , n˚ar k → 0 i Rm , idet f er differentiabel i g(a). Lad h være tilstrækkelig lille, og lad k være givet ved: k = g(a + h) − g(a) . Der omskrives nu p˚a udtrykket f(g(a + h)) − f(g(a)). Først trækkes g(a) fra og lægges til igen: f(g(a + h)) − f(g(a)) = f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a)) Herefter indsættes at b = g(a), og k = g(a + h) − g(a): f(g(a) + g(a + h) − g(a)) − f(g(a)) = f(b + k) − f(b) Da δ(k) = f(b + k) − f(b) − Df(b)(k), f˚as at Det indsættes, at k = g(a + h) − g(a): f(b + k) − f(b) = Df(b)(k) + δ(k) Df(b)(k) + δ(k) = Df(b)(g(a + h) − g(a)) + δ(k)
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40:
Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?