Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

12 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Sætning 2.6 C([a, b]) er fuldstændigt
Det metriske rum C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum.
Bevis. For at bevise sætningen tages en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]), og
det vises, at den konvergerer mod en funktion, der ogs˚a er indeholdt i C([a, b]).
Lad {fn}n≥1 i C([a, b]) være en Cauchy-følge. Det betyder, at følgende gælder:
∀ε > 0, ∃ Ñε ≥ 1, ∀p, q ≥ Ñε : d∞(fp, fq) < ε (2.3)
Herefter skal konstrueres en kontinuert funktion f : [a, b] → R 2 , s˚a
Det betyder, at
lim
n→∞ fn = f
∀ε > 0, ∃Nε ≥ 1, ∀n ≥ Nε : d∞(fn, f) < ε (2.4)
Anvend uligheden d∞(fp, fq) < ε fra udsagn (2.3) og benyt derudover definitionen
p˚a metrikken d∞. Dermed f˚as, at
∀t ∈ [a, b], p, q ≥ Ñε : fp(t) − fq(t) ≤ d∞(fp, fq) < ε (2.5)
Hold t fast. Det fremg˚ar dermed af udsagn (2.5), at {fn(t)}n≥1 er en Cauchyfølge
i (R2 , dE), eftersom
fp(t) − fq(t)
= dE fp(t), fq(t)
Fra [Coh03] vides, at (R 2 , dE) er et fuldstændigt metrisk rum, hvilket i henhold
til definition 2.4 medfører, at alle Cauchy-følger konvergerer. Det betyder, at
∃f(t) ∈ R 2 : lim
n→∞ fn(t) = f(t)
Dette kan ogs˚a skrives p˚a følgende m˚ade:
∀ε > 0, ∃Ñε,t ≥ 1, ∀n ≥ Ñε,t : fn(t) − f(t) < ε (2.6)
Vælg nu et andet t, som holdes fast. Dernæst gentages ovenst˚aende procedure.
Dermed f˚as til ethvert t en værdi f(t). S˚aledes konstrueres en funktion
f : [a, b] → R 2
Herefter skal det vises, at limn→∞ fn = f. Det gøres ved at bevise, at udsagn
(2.4) gælder:
fn(t) − f(t) = fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t)
≤ fn(t) − fq(t) + fq(t) − f(t) ,
for alle q, n ≥ 1, t ∈ [a, b]
(2.7)
Vælg ε
2 i stedet for ε i udsagn (2.3), hvormed Ñε ændres til Ñ ε . P˚a samme
2
m˚ade vælges ε
2 i stedet for ε i udsagn (2.6), hvormed Ñε,t ændres til Ñ ε
2 ,t.