Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

3.3 Klassifikation 53
ved dens spor og determinant. For at komme nærmere ind p˚a hvordan en spordeterminantplan
kan benyttes til klassifikation, tages der udgangspunkt i lineære
differentialligninger.
Følgende system af to lineære differentialligninger betragtes:
dx1
dt = ax1 + bx2
dx2
dt = cx1 + dx2
⇒ x ′ = Ax, hvor A =
a b
c d
For at bestemme egenværdierne λ1, λ2 for matricen A løses det karakteristiske
polynomium:
0 = λ 2 − (a + d)λ + (ad − bc) ⇔
0 = λ 2
− (tr A)λ + det A , hvor
tr A =
det A =
a + d
ad − bc ⇔
λ = 1
tr A ±
2
(tr A) 2
− 4 det A
Her angiver tr sporet. Sæt
λ1 = 1
2
λ2 = 1
2
tr A + (tr A) 2
− 4 det A
tr A − (tr A) 2
− 4 det A
(3.25)
Egenværdiernes fortegn afhænger af diskriminanten d = (tr A) 2 − 4 det A i ligning
(3.25). Der er tre forskellige tilfælde:
• d < 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ C og Im λ1, Im λ2 = 0
• d = 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1, λ2 har algebraisk multiplicitet 2
• d > 0 ⇒ λ1, λ2 ∈ R og λ1 = λ2
Figur 3.8 viser spor-determinantplanen med de forskellige typer faseportrætter.