Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

76 KAPITEL 5. STABILITET
Sæt y0 = x(tn k ′ ), hvor k ′ > K fra udsagn (5.9). I henhold til sætning 2.12
opfylder f en lokal Lipschitz-betingelse. Dermed f˚as ifølge sætning 2.14 omhandlende
eksistensen og entydigheden af en løsning, at
y(s) = ϕ(y0, s)
= ϕ x(tn k ′ ), s
= ϕ ϕ(x0, tn k ′ ), s
= ϕ(x0, tn k ′ + s)
= x(tn k ′ + s)
Idet ˙ L er negativ definit, er L(z0) − L z(s) > 0. Dermed er det muligt at sætte
ε = L(z0) − L z(s) . Der findes s˚aledes δ > 0, s˚a der for
y0 − z0
< δ gælder
følgende:
L y(s) − L(z(s) < L(z0) − L z(s)
Dermed f˚as, at
Det betyder, at
L y(s) = L z(s) + L y(s) − L z(s)
< L z(s) + ε
= L z(s) + L(z0) − L z(s)
= L(z0)
L x(tn k ′ + s) = L y(s) < L(z0) (5.10)
Funktionen L er kontinuert, s˚a i henhold til ligning (5.8) og sætning 1.9.2 i
[Coh03] gælder, at
lim
k→∞ L x(tnk ) = L(z0)
Der eksisterer m ∈ R, s˚a tn k ′ + s ≤ tm. Idet ˙ L er negativ definit, f˚as at
L x(tn k ′ + s) ≥ L x(tm) > L(z0)
Dette er i modstrid med ulighed (5.10). Dermed er ωf = {x ∗ }. Herefter skal vises,
at samtlige løsninger med en begyndelsesbetingelse, der ligger i O1, konvergerer
mod x ∗ . I forvejen vides, at disse løsninger bliver i O1 for alle t ≥ 0. Ved brug
af ligning (5.8) f˚as følgende:
lim x(t) = x∗
t→∞
Dette fremg˚ar ved at antage det modsatte, dvs.:
∃ ˜ δ > 0, ∀T > 0, ∃t > T : x(t) /∈ B˜ δ (x ∗ )
(5.11)
Sæt T = n. Dermed eksisterer tn > n, s˚a x(tn) /∈ B˜ δ (x ∗ ). For hvert n f˚as
et tn. Dermed konstrueres en følge x(tn)
n≥1 i Bδ(x ∗ ). Denne følge har en
konvergent delfølge, men x(tn)
er konstrueret p˚a en m˚ade, s˚a
n≥1
x(tn) − x ∗ ≥ δ˜