Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

68 KAPITEL 4. LINEARISERING
⎡
∂f1
⎢ (x, y)
⎢ ∂b
Df(x, y) = ⎢
⎣∂f2
(x, y)
∂b
⎤
∂f1
(x, y)
∂r ⎥
⎦ ∂f2
(x, y)
∂r =
A − Br
Cr
−Bb
−D + Cb
Det lineariserede system i (0, 0) bliver derfor følgende:
y ′
A
=
0
0
y
−D
Vi har dermed et hyperbolsk ligevægtspunkt, hvor egenværdierne har forskelligt
fortegn. Dette svarer ifølge afsnit 3.2.1 til, at origo er et sadelpunkt i differenti-
alligningssystem (4.8).
Jacobimatricen i ligevægtspunktet ( D
C
Df
D A
, =
C B
⎡
A A − B · B
⎣
C · A
B
A , B ) beregnes til at være følgende:
−B · D
C
−D + C · D
C
⎤
⎦ =
Herefter bestemmes egenværdierne til denne matrix:
D A
det Df , − λI = 0 ⇔
C B
⎡
0 − λ
⎣
−BD
⎤
C
⎦ = 0 ⇔
CA
B 0 − λ
CA
(−λ)(−λ) −
B ·
−BD
= 0 ⇔
C
λ 2 + DA = 0 ⇔
⎡
⎣ 0
CA
B
λ = ±√−4DA ⇔
2
λ = ±i √ DA
−BD
C
Eftersom egenværdierne i dette tilfælde har 0 som realdel, er ligevægtspunktet
( D A
C , B ) ikke hyperbolsk. Vi er derfor p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at
sige noget om systemets opførsel omkring dette ligevægtspunkt.
4.3 Opsummering
Vi startede kapitlet med at definere partielle afledede samt en sætning om deres
eksistens. Derefter fortsatte vi med at gennemg˚a, hvorn˚ar og hvorledes det er
muligt at linearisere et plant system. Herunder valgte vi at g˚a i dybden med det
tilfælde, hvor det lineariserede system har et ligevægtspunkt med sadelopførsel.
Herefter udledte vi Lotka-Volterramodellen for samspillet mellem rovdyr og byttedyr.
Dernæst beregnede vi ligevægtspunkterne for systemet og bestemte ved
hjælp af linearisering, at origo er et sadelpunkt for systemet. Det andet ligevægtspunkt
er vi p˚a nuværende tidspunkt ikke i stand til at konkludere yderligere
p˚a. Vi vil derfor i næste kapitel beskæftige os med stabilitetsundersøgelse.
0
⎤
⎦