Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunne det ikke lineariseres. Vi gik derfor videre med to metoder til stabilitetsundersøgelse for at f˚a et mere præcist indblik i systemets opførsel omkring det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt. Først definerede vi tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt kan befinde sig i. Dernæst blev teorien omhandlende nulkliner gennemg˚aet. Herunder hvordan de findes, og hvad der kan tolkes ud fra dem. Herefter beskæftigede vi os med en anden metode til stabilitetsundersøgelse, Lyapunov-funktioner. Først definerede vi, hvad en Lyapunov-funktion er, og dernæst beviste vi Lyapunovs sætning. De nødvendige værktøjer var hermed blevet introduceret, og de kunne dernæst anvendes p˚a Lotka-Volterramodellen. Først fandt vi systemets nulkliner og optegnede retningsfeltet med nulklinerne. Det var herigennem muligt at f˚a et indblik i løsningernes opførsel omkring ligevægtspunkterne. For at f˚a større indsigt i løsningernes opførsel konstruerede vi en Lyapunov-funktion for det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt. Derigennem kunne vi konkludere, at løsningerne enten var spiralerende eller lukkede kurver. Her sandsynliggjorde vi, at løsningerne omkring dette ligevægtspunkt var lukkede kurver. Efter dette gennemgik vi nogle numeriske approksimationsmetoder, Eulers metode og Runge-Kuttametoder. Vi anvendte først Eulers metode p˚a Lotka- Volterramodellen og n˚aede frem til, at hvis skridtlængden blev valgt tilpas lille, fik vi en lukket kurve. Efterfølgende benyttede vi 2. og 4. ordens Runge- Kuttametoderne p˚a Lotka-Volterramodellen. Her n˚aede vi ligeledes frem til, at løsningskurverne var lukkede kurver. Vi har dermed bearbejdet Lotka-Volterramodellen p˚a baggrund af samtlige emner, som vi har beskæftiget os med i denne rapport. Vi har s˚aledes f˚aet et klart billede af, hvordan modellen opfører sig.
Litteratur [Axl97] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Springer, second edition, 1997. ISBN 0-387-98258-2. [CF99] Jens Carstensen and Jesper Frandsen. Mat 3H. Forlaget Systime A/S, first edition, 1999. ISBN 87-616-0055-5. [Che] W W L Chen. Linear functional analysis. http://www.maths.mq. edu.au/~wchen/lnlfafolder/lfa07-ilt.pdf. [Coh03] Graeme Cohen. A Course in Modern Analysis and its Applications. Cambridge University Press, first edition, 2003. ISBN 0-521-52627-2. [Cor06] Horia D. Cornean. On 2d systems of first order linear ode’s, 2006. [CR05] Henrik Vie Christensen and Bo Rosbjerg. Kompendium i komplekse tal og differentialligninger. 2005. [EP01] C. Henry Edwards and David E. Penney. Differential Equations & Linear Algebra. Prentice Hall International, Inc., international edition, 2001. ISBN 0-13-090362-0. [HSD04] Morris W. Hirsch, Stephen Smale, and Robert L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos. Elsevier Academic Press, second edition, 2004. ISBN 0-12-349703-5. [Jen93] Arne Jensen. Fixpunktsætningen og eksistens af løsning til sædvanlig differentialligning, 1993. [Jen00] Helge Elbrønd Jensen. Matematisk analyse 1. Notex Tryk & Design, fourth edition, 2000. ISBN 87-88764-56-7. [KJ06] Werner Kohler and Lee Johnson. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Pearson Addison Wesley, second edition, 2006. ISBN 0-321-28835-1. [Lay03] David C. Lay. Linear Algebra and It’s Applications. Pearson Education, international edition, 2003. ISBN 0-321-14992-0. [Tur00] Peter R. Turner. Guide to Scientific Computing. Macmillan Press Ltd, second edition, 2000. ISBN 0-333-79450-8. [Wad04] William R. Wade. An Introduction To Analysis. Pearson Prentice Hall, third edition, 2004. ISBN 0-13-124683-6.
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40:
Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42:
3.1 Plane systemer af differentiall
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 49 and 50: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?