Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

78 KAPITEL 5. STABILITET
Pilene p˚a figur 5.5 angiver, hvordan løsningskurverne løber og i hvilken retning.
Endvidere angiver pilene langs r-aksen og b-aksens retning kun de tilfælde, hvor
der henholdsvis ingen byttedyr er og rovdyr er. Dette kan tolkes ved, at hvis en
population af rovdyr lever uden tilstedeværelse af byttedyr, vil rovdyrene p˚a et
tidspunkt uddø. Ligeledes hvis en population af byttedyr lever uden rovdyr, vil
populationen af byttedyr forøge sig.
Ud fra figur 5.5 er det muligt at f˚a en idé om, hvordan løsningerne ser ud. Men
det er ikke muligt at sige noget med sikkerhed. Vi vil derfor g˚a videre ved at
konstruere en Lyapunov-funktion.
5.2.2 Lukkede kurver og Lyapunov-funktionen
Ud fra linearisering var vi ikke i stand til at konkludere noget, om Lotka-
Volterramodellens opførsel omkring ligevægtspunktet
D A
C , B . Vi vil derfor
forsøge at finde en Lyapunov-funktion.
S˚adan som modellen er opstillet, er bestanden af byttedyr afhængig af rovdyrbestandens
størrelse. P˚a samme vis er populationen af rovdyr afhængig af populationen
af byttedyr. Dette kan opstilles som følgende:
dr
db =
= (Cb − D)r
dr
dt
db
dt
, (som angivet i differentialligningssystem (4.8))
(A − Br)b
Ifølge appendix A.1 kan separationsreglen benyttes, da (Cb − D)r og (A − Br)b
er kontinuerte, og (Cb − D)r, (A − Br)b > 0 for alle andre punkter end (0, 0).
Ved benyttelse af separationsreglen f˚as:
A
r
− B
dr =
C − D
b
db ⇔
A ln(r) − Br + k1 = Cb − D ln(b) + k2, hvor k1, k2 ∈ R ⇔
A ln(r) + D ln(b) = k3 + Br + Cb, hvor k3 = k1 + k2 ⇔
ln(r A ) + ln(b D ) = k3 + Br + Cb ⇔
ln(r A b D ) = k3 + Br + Cb ⇔
r A b D = e k3+Br+Cb ⇔
r A b D
eBr+Cb = k, hvor k = ek3 ⇔ (5.12)
rA Cb e
= k
eBr bD
(5.13)
Betragtes funktionerne g(b) = bD
eCb og h(r) = rA
eBr , s˚a gælder fra ligning (5.13),
at k = g(b)h(r). Ved at undersøge g ′ og g ′′ kan g’s maksima findes:
g(b) = bD
e Cb = bD e −Cb ⇒
g ′ (b) = Db D−1 e −Cb − b D Ce −Cb = e −Cb b D−1 (D − Cb)