Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

44 Desuden gælder, at cos(βt) · − sin(βt) Heraf fremg˚ar det, at KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER sin(βt) = cos(βt) sin(βt) − sin(βt) cos(βt) = 0 cos(βt) cos(βt) og − sin(βt) sin(βt) er ortogonale. cos(βt) Dermed kan Pythagoras’ sætning 6.3 i [Axl97] benyttes, hvilket giver, at ||x(t)|| 2 = k1 2 cos(βt) − sin(βt) + k2 sin(βt) cos(βt) = k 2 2 cos(βt) 1 − sin(βt) + k 2 sin(βt) 2 cos(βt) = k 2 1 + k 2 2 Heraf fremg˚ar det, at ||x(t)|| 2 er konstant. Det betyder, at løsningerne afbildes som cirkler med centrum i origo. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for et center, jf. figur 3.4. Figur 3.4: Faseportræt af et center Herefter undersøges faseportrættet i det tilfælde, hvor α > 0. Da vil limt→∞ e αt = ∞, s˚a i stedet for at være cirkler spiralerer løsningskurverne væk fra origo, se figur 3.5. I dette tilfælde kaldes ligevægtspunktet for en spiralkilde. Hvis α < 0, er limt→∞ e αt = 0, hvilket betyder, at løsningskurverne spiralerer ind mod origo, jf. figur 3.6. I denne situation kaldes ligevægtspunktet for et spiraldræn. 2 2
3.2 Systemer med kanoniske matricer 45 Figur 3.5: Spiralkilde Figur 3.6: Spiraldræn 3.2.3 Gentagen egenværdi I dette afsnit vil vi udlede den generelle løsning til systemet x ′ = Ax, hvor matricen A har én reel egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Først behandles det tilfælde, hvor A = λ 0 0 λ Her er λ ∈ R. Til at starte med beregnes den karakteristiske ligning for at tjekke, at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2: det(A − λ1I) = 0 ⇔ λ − λ1 0 = 0 ⇔ 0 λ − λ1 (λ − λ1)(λ − λ1) = 0 Heraf ses, at λ er en egenværdi med algebraisk multiplicitet 2. Ved at indsætte λ i den karakteristiske ligning f˚as egenvektorerne: Eλ(A) = null(A − λI) λ − λ 0 = null 0 λ − λ 0 0 = null 0 0 Ud fra dette fremg˚ar det, at enhver vektor v ∈ R 2 \{0} er en egenvektor. Dermed er den generelle løsning ifølge sætning 3.5 samt eksistens- og entydighedssætning 2.14 givet ved: x(t) = ke λt v, k ∈ R (3.17) Lad w1, w2 ∈ R 2 være to lineært uafhængige vektorer, og sæt kv = k1w1 + k2w2
Page 1: Plane Differentialligningssystemer
Page 5: Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9: viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11: 2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13: 4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 18 and 19: 10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 51: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87 and 88: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 89: 5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103:
[Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105:
Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107:
Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109:
A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111:
A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113:
Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115:
1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?