Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

14 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Dermed er f kontinuert i t0, og idet t0 er et vilk˚arligt punkt i [a, b], er f kontinuert
p˚a [a, b], dvs. f ∈ C([a, b]).
Det er s˚aledes bevist, at en vilk˚arlig Cauchy-følge i C([a, b]) konvergerer mod en
funktion i C([a, b]). Det betyder, at C([a, b]) er et fuldstændigt metrisk rum.
Hernæst følger en sætning, som handler om en bestemt type funktioner og elementer,
der afbildes over i sig selv:
Definition 2.7 Fikspunkter og kontraktioner
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en funktion.
• Et punkt x ∈ M kaldes et fikspunkt for S, hvis S(x) = x.
• Funktionen S kaldes en kontraktion, hvis
∃α ∈]0; 1[, ∀x, y ∈ M : d S(x), S(y) ≤ αd(x, y)
Tallet α benævnes kontraktionskonstanten for S.
Inden vi er i stand til at bevise Banachs fikspunktssætning, skal vi først bevise
følgende lemma:
Lemma 2.8 Metrik og kontraktionskonstant
Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad S : M → M være en kontraktion
med α som kontraktionskonstant. Lad {xn}n≥1 være følgen
defineret ved xn = S(xn−1), hvor n ≥ 1. Da gælder følgende:
1. ∀n ≥ 0 : d(xn+1, xn) ≤ α n d(x1, x0)
2. ∀k ≥ 1, p ≥ 0 : d(xk+p, xp) ≤ (1 + α + . . . + α k−1 )d(xp+1, xp)
Bevis. Begge punkter bevises ved induktion.
Punkt 1:
Basistrin: Her bevises, at uligheden gælder for n = 0:
d(x1, x0) ≤ α 0 d(x1, x0) = d(x1, x0)
Induktionstrin:
Induktionsantagelsen er, at uligheden gælder for n. Uligheden skal derefter vises
for n + 1:
d(xn+2, xn+1) = d S(xn+1), S(xn) ≤ αd(xn+1, xn) ≤ α n+1 d(x1, x0)
Ved det sidste ulighedstegn er induktionsantagelsen anvendt. Hermed er punkt
1 bevist.