Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

58 KAPITEL 4. LINEARISERING
Grænseværdien er dermed den samme for t > 0 og t < 0:
f(a + tej) − f(a) b1j
lim
=
t→0 t
b2j
Ved at angive vektorfunktionen f komponentvis f˚as:
f1(a + tej) f1(a)
−
f2(a + tej) f2(a)
lim
=
t→0
t
Ifølge lemma 4.3 gælder følgende:
f1(a + tej) − f1(a)
t
= b1j og
b1j
b2j
f2(a + tej) − f2(a)
t
= b2j
Da venstresiden i begge ligninger er lig med den partielle afledede af xj jf.
definition 4.1 f˚as:
∂fi
(a) = bij
∂xj
for i = 1, 2
Matricen B bliver s˚aledes:
⎡
∂f1
(a)
⎢∂x1
⎢
B = ⎢
⎣ ∂f2
(a)
∂x1
⎤
∂f1
(a)
∂x2 ⎥
⎦ ∂f2
(a)
∂x2
Dermed er sætningen bevist.
Hvis de 1. ordens partielle afledede til vektorfunktionen f eksisterer i punktet
a, kaldes matricen B for Jacobimatricen for f i a, og den noteres Df(a). Det
er vigtigt at bemærke, at sætningen ikke gælder den anden vej. Det er derfor
muligt, at Jacobimatricen for en funktion f eksisterer, uden funktionen er
differentiabel.
4.1 Linearisering
Vi vil herunder p˚a basis af [KJ06] redegøre for, hvordan linearisering fungerer.
Vi betragter systemet x ′ = f(x), der skrevet p˚a komponentform ser s˚aledes ud:
x ′ 1 = f1(x1, x2)
x ′ 2 = f2(x1, x2)
Vektorfunktionen f skal være C 2 . Dette defineres herunder:
Definition 4.5 Funktioner i mængden C p
En funktion f af reelle tal er C p , hvis f’s afledte op til p’te orden
eksisterer og er kontinuerte.
(4.6)
Vi lader x ∗ = (x1 ∗ , x2 ∗ ) være et ligevægtspunkt for system (4.6) og betragter
et punkt (x1, x2) tæt p˚a ligevægtspunktet. Ved at Taylorudvikle f1(x1, x2) og