Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

52
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
med tilhørende egenværdi k2, men vi har antaget, at en s˚adan egenvektor ikke
eksisterer.
Hvis k2 − λ = 0, f˚as at
A
w + k1
k2 − λ v
= Aw + k1
k2 − λ Av
= k1v + k2w + k1
k2 − λ λv
= k2w + k1 + λk1
v
k2 − λ
k1(k2 − λ) λk1
= k2w +
+ v
k2 − λ k2 − λ
k1k2 − k1λ + λk1
= k2w +
v
k2 − λ
= k2w + k1k2
k2 − λ v
= k2 w + k1
k2 − λ v
Dermed er k2 en egenværdi, men dette er i modstrid med antagelsen om, at A
kun har én egenværdi. Derfor m˚a k2 = λ. Lad u = 1 w, s˚a er
k1
Au = A 1
w = 1
(k1v + k2w) = v + k2
w = v + λ
w = v + λu
k1
k1
Nu konstrueres T s˚aledes, at T e1 = v, og T e2 = u, dvs.
T = v u
For at bestemme elementerne i T −1 AT beregnes (T −1 AT )e1 og (T −1 AT )e2:
Dermed f˚as, at
k1
(T −1 AT )e1 = T −1 Av = T −1 λv = λe1
(T −1 AT )e2 = T −1 Au = T −1 (v + λu) = e1 + λe2
T −1 AT =
λ 1
0 λ
Den generelle løsning x(t) til et system med denne matrix blev udledt i afsnit
3.2.3, og T x(t) er den generelle løsning til x ′ = Ax.
3.3 Klassifikation
I dette afsnit behandles klassifikation af plane systemer. Vi beskæftiger os med
spor-determinantplanen. Heri kortlægges, hvordan faseportrættet af et system
af differentialligninger ser ud, n˚ar sporet og determinanten af matricen for et
differentialligningssystem er kendt.
En m˚ade at klassificere en plan, lineær differentialligning p˚a er ved hjælp af
en spor-determinantplan, idet egenværdierne for en 2 × 2 matrix er bestemt
k1