Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Recommendations

Info

80 KAPITEL 5. STABILITET S˚aledes kan vi konstruere en Lyapunov-funktion for systemet ˜L(b, D A r) = −L(b, r) + L , C B D = −rAbD + eBr+Cb A B A D C e A+D Dette er en Lyapunov-funktion, da ˜ L for det første opfylder, at ˜L D A D A D A , = −L , + L , = 0 C B C B C B For det andet fordi ˜ L er C 1 , hvilket betyder, at de partielle afledede eksisterer og er kontinuerte: ∂ ˜ L ∂b (b, r) = −rADbD−1e Br+Cb + rAbDCe Br+Cb (eBr+Cb ) 2 = rA b D C − r A Db D−1 e Br+Cb ∂ ˜ L ∂r (b, r) = −ArA−1bDeBr+Cb + rAbDBe Cb+Br (eBr+Cb ) 2 = rA b D B − Ar A−1 b D e Br+Cb Da de enkelte led er kontinuerte f˚as af sætning 3.22 i [Wad04], at hele udtrykket er kontinuert. Da ˜ L er konstant p˚a alle punkter i en løsning, understøtter dette yderligere, at systemet har lukkede løsningskurver, da det ikke indeholder grænsecykler, dvs. lukkede kurver af α- eller ω-grænsepunkter, jf. korollar 5, s. 230 i [HSD04]. Eftersom vi har fundet en Lyapunov-funktion for ligevægtspunktet D C det i henhold til sætning 5.7 stabilt. Figur 5.8: En 3D-illustration af niveaukurver for L(b, r) A , B , er
5.3 Opsummering 81 5.3 Opsummering Vi startede kapitlet med at definere tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt kan befinde sig i. Derefter gennemgik vi to metoder til stabilitetsundersøgelse, nulkliner og Lyapunov-funktionen. Dernæst benyttede vi de to metoder p˚a Lotka-Volterramodellen. Først fandt vi systemets nulkliner, og ud fra dem fik vi en idé om, hvordan løsninger til systemet kunne se ud. For at f˚a et mere sikkert billede af det, kiggede vi Lyapunov-funktionen for det ene ligevægtspunkt. Derigennem n˚aede vi frem til, at systemets løsninger er lukkede kurver omkring ligevægtspunktet. For at undersøge systemet yderligere vil vi i næste kapitel gennemg˚a to numeriske metoder og anvende disse p˚a Lotka- Volterramodellen.
Page 1:
Plane Differentialligningssystemer
Page 5:
Forord Dette projekt er udarbejdet
Page 8 and 9:
viii INDHOLD 6 Numerisk approksimat
Page 10 and 11:
2 INDHOLD værktøjer til at analys
Page 12 and 13:
4 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL DIFFE
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
10 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGH
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 39 and 40: Kapitel 3 Lineære, plane different
Page 41 and 42: 3.1 Plane systemer af differentiall
Page 47 and 48: 3.2 Systemer med kanoniske matricer
Page 61 and 62: 3.3 Klassifikation 53 ved dens spor
Page 63 and 64: Kapitel 4 Linearisering Vi vil i de
Page 65 and 66: Vi kan nu baseret p˚a [Wad04] bevi
Page 67 and 68: 4.1 Linearisering 59 f2(x1, x2) omk
Page 69 and 70: 4.1 Linearisering 61 I dette system
Page 71 and 72: 4.1 Linearisering 63 Da λ,x > 0 f
Page 73 and 74: 4.2 Lotka-Volterra 65 P˚a samme m
Page 75 and 76: 4.2 Lotka-Volterra 67 Af figur 4.3
Page 77 and 78: Kapitel 5 Stabilitet Vi har i forri
Page 79 and 80: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 71 5.1
Page 81 and 82: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 73 Som
Page 83 and 84: 5.1 Stabilitetsundersøgelse 75 Ide
Page 85 and 86: 5.2 Lotka-Volterra 77 Derfor kan de
Page 87: 5.2 Lotka-Volterra 79 M b n () g(b)
Page 92 and 93: 84 KAPITEL 6. NUMERISK APPROKSIMATI
Page 100 and 101: 92 KAPITEL 7. AFRUNDING derfor kunn
Page 102 and 103: [Wei91] Giordano Weir. Differential
Page 104 and 105: Dermed er (G ◦ f) ′ (t) = G ′
Page 106 and 107: Eftersom ε(h) = g(a + h) − g(a)
Page 108 and 109: A.3 Middelværdisætning For at bev
Page 110 and 111: A.4 Taylors formel Dette appendiks
Page 112 and 113: Da F er p gange differentiabel p˚a
Page 114 and 115: 1 = b0 + ∆t kb11 + 2(kb12 + kb13)
show all

Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?