Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

28 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED
Derefter udregnes 1
3 x(t) :
2 1
3 x(t) =
3 t
3 1
3
2
=
2
3 t
3
6 2
=
3 t
1
2
Dvs. x(t) = ( 2 3
3t) 2 , t ∈ R er en løsning.
Desuden er x(t) ≡ 0 , t ∈ R en ligevægtsløsning, da x ′ (t) = 0, og 1
3 x(t) = 0.
Disse løsninger sammensættes, hvilket giver følgende:
x(t) =
3
2
2
3 (t + k) for t ≥ −k , k ∈ R− ∪ {0}
0 for t < −k , k ∈ R− ∪ {0}
(2.35)
Grunden til, at k ∈ R− ∪ {0}, er, at der om −k skal gælde, at −k ≥ 0, eftersom
begyndelsesbetingelsen x(0) = 0 skal være opfyldt.
Det er nødvendigt at undersøge, om denne sammensætning af løsninger giver
funktioner, som er differentiable i punktet t = −k. Det betyder, at følgende skal
være opfyldt:
x(−k + h) − x(−k) x(−k + h) − x(−k)
lim
= lim
h→0− h
h→0+ h
De to differentialkvotienter udregnes:
x(−k + h) − x(−k) 0
lim
= lim
h→0− h
h→0− h
x(−k + h) − x(−k)
lim
= lim
h→0+ h
h→0+
= lim
h→0+
= lim
h→0+
= 0
= 0
3
2
2
3 (−k + h + k) − 0
3
2 2
3h h
2 3
h
3
2 √
h
Hermed er det vist, at funktionerne er differentiable i t = −k. Dermed giver
sammensætningen af løsninger i ligning (2.35) uendelig mange løsninger, idet
konstanten k kan vælges arbitrært, og for hvert k f˚as en ny løsning.
Det er ikke i modstrid med eksistens- og entydighedssætning 2.14, at der eksis-
terer flere løsninger, da f(x) = x 1
3 ikke opfylder en lokal Lipschitz-betingelse.
Det skyldes, at følgende ulighed ikke gælder for alle K > 0, hvis x1, x2 er tilpas
1
3
− x ≤ K|x1 − x2|
sm˚a: x 1
3
1
2