Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

6.3 Lotka-Volterra 87
Selve eksperimentet med Eulers metode best˚ar af to test. I tabel 6.1 ses opsætningerne
til hver test.
1. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.01
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
2. Opsætning
Konstant A 1
Konstant B 1
Konstant C 1
Konstant D 1
Skridtlængde ∆t 0.001
Beg.-værdier (b0, r0) (1.2,0.7)
Antal iterationer 20000
Tabel 6.1: Opsætninger til eksperimentet med Eulers metode
Herunder gennemløbes nogle iterationer med den første opsætning ved hjælp af
Eulers metode:
1. iteration:
b1 = b0 + (A − Br0)b0∆t = 1, 2 + (1 − 1 · 0, 7)1, 2 · 0, 01 = 1, 2036
r1 = r0 + (Cb0 − D)r0∆t = 0, 7 + (1 · 1, 2 − 1)0, 7 · 0, 01 = 0, 7014
2. iteration:
b2 = b1 + (A − Br1)b1∆t = 1, 2036 + (1 − 1 · 0, 7014)1, 2036 · 0, 01 = 1, 2072
r2 = r1 + (Cb1 − D)r1∆t = 0, 7014 + (1 · 1, 2036 − 1)0, 7014 · 0, 01 = 0, 7028
3. iteration:
b3 = b2 + (A − Br2)b2∆t = 1, 2072 + (1 − 1 · 0, 7028)1, 2072 · 0, 01 = 1, 2108
r3 = r2 + (Cb2 − D)r2∆t = 0, 7028 + (1 · 1, 2072 − 1)0, 7028 · 0, 01 = 0, 7043
De efterfølgende approksimationer udregnes p˚a lignende vis. P˚a figur 6.1 og
6.2 ses resultaterne for begge test med nævnte opsætninger. Ved en stor
skridtlængde opn˚as nødvendigvis ikke en særlig præcis approksimation ved hver
udregning, og da den efterfølgende approksimation er baseret p˚a den forrige
udregning giver dette en spiralerende løsningskurve fremfor en lukket kurve.
Hvis skridtlængden bliver tilstrækkeligt lille, som i den 2. opsætning, hvor den
blev mindsket med en faktor 10, kommer den approksimerede løsning tættere p˚a
den eksakte værdi. Det vises i figur 6.2, hvor løsningen bliver en lukket kurve.