Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

Sætning A.8 Taylors formel i R 2
Lad p ∈ N, og lad V ⊆ R 2 være en ˚aben mængde og x, a ∈ V , som er
konveks og antag endvidere, at f : V → R og f er C p i V . Hvis f’s p’te
totaldifferentiale eksisterer i V , og L(x; a) ⊆ V , s˚a findes der et punkt
c ∈ L(x; a), s˚a
p−1
1
f(x) = f(a) +
k! D(k) f(a; h) + 1
p! D(p) f(c; h). (A.2)
Her er h = x − a.
k=1
Bevis. Lad h = x − a. Vælg et δ > 0, s˚aledes a + th ⊂ V for
t ∈ Iδ = (−δ, 1 + δ). Lad der ogs˚a være en givet funktion F (t) = f(a + th).
Denne funktion er differentiabel p˚a Iδ. Ved induktion vises, at den
j-te afledte af F er givet ved
F (j) (t) =
2
· · ·
i1=1
for j = 1, 2, . . . , p
2 ∂jf (a + th)hi1 . . . hij , (A.3)
∂xi1 . . . ∂xij
ij=1
Basistrin: Basistrinet laves for j = 1, dvs. at den 1. afledte af F bestemmes.
Hertil anvendes kædereglen i appendiks A.2:
F ′ (t) = Df(a + th)(h) = ∂f
(a + th)h1 +
∂x1
∂f
(a + th)h2
∂x2
(A.4)
Dermed gælder ligningen for j = 1.
Induktionstrin: Induktionsantagelsen er, at ligningen gælder for de første (j −1)te
afledede af F .
Ligningen vises nu for den j-te afledede af F :
F (j) (t) = D(D (j−1) f(a + th))
=
=
=
2 ∂
(D
∂xij
(j−1) f(a + th)) · hij
⎛
2
2 ∂
⎝ · · ·
∂xij
2 ∂j−1 ⎞
f
(a + th)hi1 · · · hij−1
⎠ · hij
∂xi1 · · · ∂xij
ij=1
ij=1
2
· · ·
i1=1
ij=1
ij=1
ij−1=1
2 ∂jf (a + th)hi1 · · · hij
∂xi1 · · · ∂xij
Det er hermed bevist, at ligningen gælder.
Endvidere giver
F (j) (0) = D (j) f(a; h), for j = 1, . . . , p − 1
F (p) (t) = D (p) f(a + th; h), for t ∈ Iδ
(A.5)