Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

50
KAPITEL 3. LINEÆRE, PLANE
DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER
Systemet x ′ = T −1 AT x kan anskues, som et system af to ikke-koblede, lineære
differentialligninger. Den generelle løsning til dette system blev udledt i afsnit
3.2.1. N˚ar den generelle løsning x(t) til systemet er fundet, vil T x(t) være den
generelle løsning til y ′ = Ay, jf. sætning (3.11).
Komplekse egenværdier
Lad A være en matrix med den komplekse egenværdi α + iβ, hvor β = 0. Lad
v1 + iv2 være den tilhørende egenvektor, hvor v1, v2 ∈ R 2 . Ligesom i tilfældet
med de reelle egenværdier betegner T den matrix, som har søjlerne v1 og v2.
For at T har en invers matrix, skal v1 og v2 være lineært uafhængige, jf. sætning
8 i afsnit 2.3 i [Lay03]. Det vises herunder, at hvis v1 og v2 er lineært afhængige
fører det til en modstrid:
Lad v1 og v2 være lineært afhængige, og lad v2 = 0. Det sidste er muligt at
antage, eftersom v1 = 0 = v2 ikke er muligt, idet v1 + iv2 er en egenvektor, og
en egenvektor skal være forskellig fra nulvektoren. Dermed eksisterer k ∈ R, s˚a
v1 = kv2. Idet v1 + iv2 er en egenvektor og α + iβ en egenværdi, gælder at
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = (α + iβ)(kv2 + iv2) = (α + iβ)(k + i)v2
P˚a den anden side gælder det ogs˚a, at
Derfor m˚a
A(v1 + iv2) = Av1 + iAv2 = (k + i)Av2
(α + iβ)v2 = Av2
(3.22)
Men dette er en modstrid, eftersom venstresiden i ligning (3.22) er en kompleks
vektor, idet β = 0, mens højresiden er en reel vektor.
Dermed er det vist, at T er invertibel. Herunder vil vi finde elementerne i matricen
T −1 AT .
Idet v1 + iv2 er en egenvektor med egenværdien α + iβ, s˚a gælder, at
A(v1 + iv2) = (α + iβ)(v1 + iv2) = αv1 − βv2 + i(βv1 + αv2) (3.23)
Eftersom to komplekse tal er lig med hinanden, hvis og kun hvis deres realdel
og imaginære del er ens, kan ligning (3.23) deles op i to:
Av1 = αv1 − βv2
Av2 = βv1 + αv2
Da T har v1 og v2 som søjler, gælder at
T e1 = v1 og T e2 = v2
Nu kan elementerne i T −1 AT beregnes. Første søjle giver
(T −1 AT )e1 = T −1 Av1 = T −1 (αv1 − βv2) = αT −1 v1 − βT −1 v2 = αe1 − βe2
Anden søjle i T −1 AT beregnes p˚a tilsvarende m˚ade:
(T −1 AT )e2 = T −1 Av2 = T −1 (βv1 + αv2) = βT −1 v1 + αT −1 v2 = βe1 + αe2